Здравствуйте, Лукконен Иван Денисович!
1
Существует неравенство
1/x+x[$8805$]2, причем равенство возможно только при x=1
Значит, из первого неравенства следует, что 5^x[$8800$]1 и x[$8800$]0
Из второго неравенства
x²[$8804$]6+x
Для решения неравенства найдем корни двучлена x²-x-6=0
D=1+6*4=25
x1=(1+5)/2=3
x2=(1-5)/2=-2
Решение неравенства отрезок [-2;3]. Удалим из него точку 0.
Ответ: [-2;0) [$8746$](0;3]

Здравствуйте, Лукконен Иван Денисович!

Заметим что


Чтобы все выражения имели смысл, необходимо


Т.е. область допустимых значений(ОДЗ):

и
.

Теперь, используя стандартные свойства логарифма, преобразуем выражение





Т.к. основание логарифмов больше 1, неравенство верно тогда и только тогда, когда



Объединяя это условие с ОДЗ, получаем ответ:
неравенство верно при
.

Здравствуйте, Лукконен Иван Денисович!

2. Для первого неравенства заметим, что основание логарифма должно быть строго положительным и не равным единице. В данном случае для log[sub]x[/sub]2x = log[sub]x[/sub]x + log[sub]x[/sub]2 = 1 + log[sub]x[/sub]2 имеем:

Первое неравенство выполняется при 0 < x < 1/2 и при x > 1, второе неравенство выполняется всегда, что даёт нам для x область допустимых значений (ОДЗ): x [$8712$] (0, 1/2)[$8746$](1, +[$8734$]). Исходное неравенство

решим методом потенцирования. С учётом того, что показательная функция a[sup]x[/sup] является монотонно возрастающей при a > 1 и монотонно убывающей при 0 < a < 1, в данном случае для a = 1+log[sub]x[/sub]2 имеем два случая:
и
Решение первой системы - x[$8805$]3/5, x>1, то есть x [$8712$] (1, +[$8734$]). Решение второй системы - 2/5 < x [$8804$] 3/5, 0 < x < 1/2, то есть x [$8712$] (2/5, 1/2). Следовательно, с учётом ОДЗ первое неравенство выполняется при x [$8712$] (2/5, 1/2)[$8746$](1, +[$8734$]).

Преобразуем второе неравенство:




Неравенство выполняется в двух случаях:
или
Решение первой системы - x [$8805$] 2, x [$8804$] 0, то есть x [$8712$] (-[$8734$], 0][$8745$][2, +[$8734$]) = [$8709$]. Решение второй системы - x [$8804$] 2, x [$8805$] 0, то есть x [$8712$] (-[$8734$],2][$8745$][0, +[$8734$]) = [0, 2]. Следовательно, второе неравенство выполняется при x [$8712$] [0, 2].

Объединяя решения неравенств, получаем решение системы: x [$8712$] (2/5, 1/2)[$8746$](1, 2].