Здравствуйте, Ольга Никанова!

1) Координаты центра тяжести плоской фигуры D определяются по формуле x[sub]c[/sub] = M[sub]y[/sub]/S, y[sub]c[/sub] = M[sub]x[/sub]/S, где S, M[sub]x[/sub], M[sub]y[/sub] - площадь фигуры и её моменты относительно осей координат, определяемые выражениями:





В данном случае имеем {D: y = 1 - x[sup]3[/sup], y = 1 - x, x = 0}. Кубическая парабола y = 1 - x[sup]3[/sup] и прямая y = 1 - x пересекаются в точках (-1, 2), (0, 1) и (1, 0). С учётом ограничения x = 0, двойной интеграл по области D сводится к повторному в пределах от 0 до 1 по x и от 1-x до 1-x[sup]3[/sup] по y. Следовательно,







и координаты центра тяжести будут равны:




2) Радиус сходимости степенного ряда [$8721$]a[sub]n[/sub]x[sup]n[/sup] определяется по формуле:



В данном случае a[sub]n[/sub] = (n+1)[sup]2[/sup]/2[sup]n[/sup], a[sub]n+1[/sub] = (n+2)[sup]2[/sup]/2[sup]n+1[/sup] и



Следовательно, ряд сходится при x [$8712$] (-1, 3). Рассмотрим сходимость ряда на концах. При x = 3 получаем числовой ряд



который, очевидно, расходится (так последовательность его членов не сходится к 0). При x = -3 получаем знакочередующийся ряд



который также расходится. Итак, область сходимости ряда - (-1, 3).

3) Воспользуемся биномиальным разложением:



В данном случае для подинтегральной функции



используем биномиальное разложение при a = -1/3 и x[sup]3[/sup]/8 в роли переменной x:



Соответственно,




4) Для периодической функции f(x) с периодом 2l разложение в ряд Фурье на отрезке [a, b] (b - a = 2l) имеет вид:



где





В данном случае l = [$960$] и f(x) = 0 при -[$960$] [$8804$] x < 0, поэтому интегрирование можно производить только по правой половине отрезка (от 0 до [$960$]). Тогда







Таким образом, функция разлагается в ряд Фурье следующим образом:

Здравствуйте, Ольга Никанова!
Вычислим радиус сходимости ряда

таким образом, интервал сходимости ряда примет вид



Исследуем ряд на концах интервала сходимости

при x=-1 получим ряд

данный ряд расходится, т.к. не выполняются условия теоремы Лейбница;

при x=3 получим ряд

данный ряд расходится, т.к. не выполняется необходимое условие сходимости ряда.

Таким образом, область сходимости ряда имеет вид: