Здравствуйте, Марина!
Интеграл имеет особенность в нуле. Так как при x[$8594$]0 функция sin x эквивалентна x, а cos x эквивалентен 1, то подынтегральная функция эквивалентна 1/x^1/3. Так как интеграл от 1/x^[$945$] сходится при [$945$]<1, то на основании признака сходимости делаем заключение о том, что наш интеграл сходится (у нас [$945$]=1/3<1).

Для вычмсления интеграла сделаем замену t=(sin x)^2/3, тогда искомый интеграл
I=(3/2)[$8747$]₀¹(1-t³)dt=(3/2)(t-t⁴/4)₀¹=9/8

Здравствуйте, Марина!
Сделаем замену переменных t = sin x => dt=cos x dx, cos³x dx = (1-sin²x)cos x dx = (1 – t²)dt. Функция sin x на промежутке [0,π/2] монотонно возрастает от 0 до 1, поэтому пределы интегрирования по t от 0 до 1.
После замены переменной получаем интеграл
∫₀¹(1 – t²) dt/t^1/3 =
∫₀¹dt/ t^1/3 - ∫₀¹t^5/3dt =
3/2 t^2/3|₀¹ – 3/8t^8/3| ₀¹ =
3/2 – 3/8 = 9/8