Здравствуйте, Посетитель - 347014!
1)
В данном случае проекции силы на оси координат зависят исключительно от соответствующей координаты, поэтому могут рассматриваться независимо. Пусть движение происходит в плоскости xOy - соответственно изменяются только 2 координаты.
Дифференциальные уравнения колебаний выглядят так:
d²x/dt²=-kx/m
d²y/dt²=-ky/m
Как известно, в общем виде решение подобных уравнений выглядит так:
x=x_max[$183$]sin([$969$]₀t+[$966$]_{0 x})
y=y_max[$183$]sin([$969$]₀t+[$966$]_{0 y})
при этом частота колебаний [$969$]₀=[$8730$](k/m), поскольку
d²x/dt²=d²(x_max[$183$]sin([$969$]₀t+[$966$]_{0 x}))/dt²=
=d([$969$]₀x_max[$183$]cos([$969$]₀t+[$966$]_{0 x}))/dt=
=-[$969$]₀²x_max[$183$]sin([$969$]₀t+[$966$]_{0 x}))=-[$969$]₀²x=-kx/m

Таким образом, складываются 2 перпендикулярных колебания с равными частотами - результатом сложения является эллипс (частный случай при равных/противоположных начальных фазах - отрезок прямой). Начало отсчёта находится в центре эллипса.

Пусть теперь оси координат расположены так, что большая ось эллипса совпадает с одной осью координат, а малая - с другой.
Тогда (примем, что в момент t=0 частица находится на оси x) уравнения движения принимают вид
x=x_max[$183$]cos([$969$]₀t)
y=y_max[$183$]sin([$969$]₀t)
Тогда момент импульса
L=x[$183$]v_y-y[$183$]v_x=x_max[$183$]cos([$969$]₀t)[$183$][$969$]₀y_max[$183$]cos([$969$]₀t)+y_max[$183$]sin([$969$]₀t)[$183$][$969$]₀x_max[$183$]sin([$969$]₀t)=
=[$969$]₀x_maxy_max[$183$](sin²([$969$]₀t)+cos²([$969$]₀t))=[$969$]₀x_maxy_max
Площадь эллипса равна
S=[$960$]x_maxy_max=[$960$]L/[$969$]₀

Выражаем кинетическую и потенциальную энергию
W_k=m[$183$](v_x²+v_y²)/2=m[$969$]₀²(x_max²sin²([$969$]₀t)+y_max²cos²([$969$]₀t))/2=
=k(x_max²sin²([$969$]₀t)+y_max²cos²([$969$]₀t))/2
W_p=k(x²+y²)/2=k(x_max²cos²([$969$]₀t)+y_max²sin²([$969$]₀t))/2
W_p/W_k=(x_max²cos²([$969$]₀t)+y_max²sin²([$969$]₀t))/(x_max²sin²([$969$]₀t)+y_max²cos²([$969$]₀t))



2) Чтобы эффект от столкновения был таким же, требуется чтобы в движущейся системе отсчёта, связанной с центром масс обоих протонов, оба протона имели энергию K=10 ГэВ.
Кинетическая энергия рассчитывается по формуле K=m₀c²(1/[$8730$](1-v²/c²)-1)
Выражаем отсюда v²/c²=1-(m₀c²/(K+m₀c²))²
Таким образом имеем систему отсчёта, движущуюся со скоростью v, в которой протон движется с той же скоростью v в том же направлении
Найдём скорость протона в неподвижной системе отсчёта по формуле сложения скоростей
v'=(v+v)/(1+v[$183$]v/c²)=2v/(1+v²/c²)=2v/(2-(m₀c²/(K+m₀c²))²)
учитывая, что m₀c²=0,938 ГэВ, рассчитываем энергию


K'=253 ГэВ
Проблема в том, что движущийся на околосветовой скорости протон обладает огромным импульсом - при столкновении импульс сохраняется, поэтому значительная часть энергии переходит в кинетическую энергию продуктов, обусловленную импульсом. (для сравнения: в нерелятивистском случае K'/K=4, а при K=m₀c² получаем K'/K=6; в данном же случае получили K'/K=25,3)