Здравствуйте, Ankden!

Сделаем рисунок.



Дано: R = 5 мм = 5 ∙ 10^-3 м, j = 0,4 А/мм² = 0,4 ∙ 10⁶ А/м², r₁ ≤ R, r₂ > R.
Определить: B = f(r), B_max, W.

Проводник не является тонким, поэтому к нему неприменим закон Био – Савара – Лапласа. Но магнитное поле обладает симметрией, поэтому можно применить теорему о циркуляции вектора магнитной индукции.

1. Возьмём в качестве замкнутого контура окружность радиуса r₁ ≤ R. Тогда модуль вектора магнитной индукции B₁ в точке, расположенной на расстоянии r₁ от оси проводника равен
B₁ = μ₀I/(2πr₁) = μ₀jπr₁²/(2πr₁) = μ₀jr₁/2 = μ₀j/2 ∙ r₁. (1)
Из выражения (1) видно, что зависимость B = f(r) в этом случае линейная.

Возьмём в качестве замкнутого контура окружность радиуса r₂ > R. Тогда
B₂ = μ₀I/(2πr₂) = μ₀jπR²/(2πr₂) = μ₀jR²/(2r₂) = μ₀jR²/2 ∙ 1/r₂. (2)
Из выражения (2) видно, что зависимость B = f(r) в этом случае – обратная пропорциональность.

На основании выражений (1) и (2) строим график B = f(r).



3. Для определения энергии W магнитного поля, заключенного в единице длины проводника, т. е. в отрезке проводника длиной L = 1 м, разобьём цилиндрический проводник на малые цилиндры толщиной dr, в пределах которых магнитное поле можно считать однородным. Рассмотрим элементарный цилиндр объёмом dV = 2πrL ∙ dr. Энергия магнитного поля внутри этого цилиндра dW = B²/(2μ₀) ∙ dV =
= B²/(2μ₀) ∙ 2πrL ∙ dr = B²/μ₀ ∙ πrL ∙ dr. В соответствии с формулой (1), В = μ₀jr/2. Тогда
dW = (μ₀jr/2)²/μ₀ ∙ πrL ∙ dr = μ₀ ∙ (jr/2)² ∙ πrL ∙ dr = πμ₀j²L/4 ∙ r³ ∙ dr. (3)

Интегрируя выражение (3) в пределах от нуля до R, находим
W = πμ₀j²L/4 ∙ ₀∫^R r³ ∙ dr = πμ₀j²LR⁴/16,
что после подстановки численных значений величин даёт
W = π ∙ 4π ∙ 10^-7 ∙ (0,4 ∙ 10⁶)² ∙ 1 ∙ (5 ∙ 10^-3)⁴/16 ≈ 2,5 ∙ 10^-5 (Дж).

С уважением.