x²+y²=5x можно записать как
(x-2.5)²+y²=6.25
То есть это просто окружность с центром в (2.5,0) радиусом 2.5. В пространстве она протягивается вдоль оси z, образуя боковую поверхность цилиндра.
Прямые y=x, y=0 отсекают от окружности ровно четверть. Из круга вырезается такой сектор, площадь которого равна четверти площади круга плюс треугольник.
Второе уравнение - сфера. Ее сечение - окружность с центром в (0,0), которая уменьшается при росте z

Хотелось бы рисунок, не могу так нарисовать. и пределы интегрирования и интегралы - какие будут?

Гаряка Асмик:
Здравствуйте!

Вы вводите автора вопроса в заблуждение.

Всё-таки уравнение x² + y² = 5x, или (x - 2,5)² + y² = (2,5)², задаёт в данном случае не окружность, а круговой цилиндр. И ваше пояснение: "В пространстве она протягивается вдоль оси z, образуя боковую поверхность цилиндра", на мой взгляд, ясности не вносит. Уравнение y = x задает плоскость, проходящую через ось аппликат Oz и являющуюся биссектором нечётных октантов пространственной декартовой прямоугольной системы координат. Уравнение y = 0 задает плоскость, проходящую через ось абсцисс Ox и ось аппликат Oz, или, проще говоря, вертикальную плоскость. Аналогичным образом, уравнение z = 0 задает горизонтальную плоскость. Уравнение z = sqrt (25 - x² - y²) задает полусферу, т. е. ту "положительную" часть сферы x² + y² + z² = 25, которая расположена выше горизонтальной плоскости...

С уважением.

Богданов Александр Сергеевич:
Здравствуйте!

У Вас затруднение в нахождении объема пространственной фигуры или в выполнении рисунка? Объем фигуры можно достаточно просто найти тройным интегрированием (этот вопрос принадлежит к тематике рассылки), а вот выполнение рисунков - компетенция инженерной графики (как вариант, начертательной геометрии). Рассылки по инженерной графике на Портале нет, увы. Хотя, в принципе, всё просто.

Впрочем, не исключено, что Вам помогут и с рисунком. Просто не у каждого есть сканер или доступ к нему, а тем более, программа, выполняющая трехмерные графические модели.

С уважением.

Богданов Александр Сергеевич:
Сразу отмечу, что у Вас не совсем корректная постановка задачи - для того, чтобы задать некоторый объём в декартовой (и не только) системе координат, в системе уравнений, определяющих объём, должны присутствовать нестрогие неравенства или оговоренное словами условие (например, внутренняя область такого-то эллипса). У Вас нет этого.
Я уже вижу, что тут должно получится некоторое цилиндрическое тело, объём которого вычисляется с помощью двойного интеграла V=[$8747$][$8747$]_Df(x,y)dxdy, где D - некоторая область на плоскости xOy, а f(x,y)=z, т.е. поверхность, ограничевающая цилиндрическое тело сверху.
В плане определения формы тела я бы немного по-другому пошёл: z=+[$8730$](25-x²-y²) [$8594$] z²+y²+z²=5² (z[$8805$]0) - это есть ни что иное, как "верхняя" половинка сферы (z[$8805$]0) с центром в начале координат и радиусом = 5.
Дальше, z=0, y=0 и x=y - плоскости, проходящие через начало координат. Первые две - совпадают с координатными плоскостями xOy и xOz, соответственно, первая плоскость отсекает итак отсечённую полусферу, а вторая разрезает полусферу пополам. Третья плоскость перпендикулярна плоскости xOy и разрезает I, III, V и VII октанты декартевой системы координат и соответствующим образом разрезающая наши две половинки полусферы.
x²+y²=5x [$8594$] (x-5/2)²+y²=(5/2)² - цилиндр с осью, параллельной оси Oz, плоскость xOy пересекает его по окружности с центром в (5/2;0;0) и радиусом 5/2.
Вышеупомянутый цилиндр отрезает от двух кусков разрезанной полусферы в I и IV октантах соответствующие цилиндрические поверхности.
На плоскости xOy это будет выглядеть следующим образом: большой круг с центром в начале координат и радиусом R=5, малый круг с центром в (5/2;0) и радиусом r=5/2, линия y=x, разбивающая большой круг пополам, а малый на две части и линия y=0 (ось абсцисс), разбивающая и большой и малый круги пополам. Теперь вопрос на засыпку - что считать здесь областью D?
Как только определите область D, то Вам останется посчитать двойной интеграл [$8747$][$8747$]_Dz*dxdy=[$8747$][$8747$]_D[$8730$](25-x²-y²)dxdy по известной методике (пример 1, пример 2).
Дерзайте, удачи.

Гордиенко Андрей Владимирович:
Уважаемый коллега, на мой взгляд имеет место не совсем корректная постановка задачи автором вопроса (см. мой комментарий в форуме).

Кучумов Евгений Владимирович:
Возможно, это не факт, но логично предположить, что уравнение, заданное первым, определяет "основную" поверхность, ограничивающую фигуру, объём которой нужно найти. Из контекста задачи понятно, что имеется в виду круговой цилиндр. А дальше задаются уравнения, определяющие, образно говоря, работу скульптора, т. е. отсекающие от кругового цилиндра всё лишнее...

Гордиенко Андрей Владимирович:
Что ж, очень даже логично. Однако, это должно было быть описанно словами в задачнике или преподавателем, который дал эту задачу, ибо, а что если бы кто-либо решил подойти к представлению данной фигуры с моей точки зрения? Ведь и она тоже имеет право на существование, ведь так?
Однако, если вы правы, что скорее всего (интуитивно я именно про эту фигуру и думал), тогда область D: {} - что-то похожее на сектор.
Т.о., объём фигуры:
Каюсь, численное значение получил с помощью Maple.

Кучумов Евгений Владимирович:
Сформируете ответ?

Кучумов Евгений Владимирович:
Увы, преподаватели, ведущие практические занятия, уже не те...

Лысков Игорь Витальевич:
Я бы рад и вчера у меня была мысль написать ответ... Однако, попробовав получить ответ аналитически уже после первого интегрирования у меня получились такие громоздкие выражения , что мне пришлось воспользоваться услугами компьютерной математики...

star9491:
Отлично... Чувствуется опыт... А я, как дурак, бился с декартовыми координатами, хотя сейчас вижу, что применение полярной системы координат просто очевидно...
Похоже из-за простоя уже начал навык решения подобных задач терять...

star9491:
я думаю поскольку наше тело ограничено поверхностями в декартовой системе y=0, y=x, и двумя окружностями, то тело будет заключено в верхней плоскости, и возможно это половина полумесяца?

Богданов Александр Сергеевич:
Если Вы измените пределы интегрирования в решении с 0 и п/4 на п/4 и п/2 соответственно, то получите объём фигуры, расположенной за плоскостью y = x (по другую сторону от фигуры, объём которой найден в решении)...

Богданов Александр Сергеевич:
Разумеется, возможны варианты. Но они разбираются аналогично. Ключем явяется цилиндрическое тело, определяемое первыми тремя уравнениями. Оно определяется своей проекцией на плоскость xOy. Поэтому все решает чертеж на плоскости xOy, а тело представляет множество, лежащее между графиком z=sqrt{25-x2-y2} и плоскостью xOy. Надеюсь, что автор вопроса справится дальше сам.