Здравствуйте, Катя Лапшенкова.

Множество Х называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов х и y поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число p(x,y), удовлетворяющее трем аксиомам
1)p(x,y)=0 <=> x=y тождества
2)p(x,y)=p(y,x) симметрии
3)p(x,y)+p(y,z) > или = p(x,z) треугольника.
такое число называется расстоянием между точками x и y, перечисленные три условия аксиомами метрики

факт: последовательность Xn(t) при каждом фиксированном t это числовая последовательность, поэтому можно использовать метрику пространства R^1 p(x,y)= |x-y| , в пространстве функций работают с метрикой Чебышёва sup[t]|X(t)-Y(t)| и др.
Следуя Люстернику, докажем, что такая метрика удовлетворяет аксиомам.
1) 0 не превосходит p(x,y) и бывает лишь при x=y.
2)модуль.
3)для каждого t из [a,b] имеем |x(t)-z(t)|=|[x(t)-y(t)]+[y(t)-z(t)]| не превосходит |x(t)-y(t)|+|y(t)-z(t)|, что не превосходит max[t]|x(t)-y(t)|+max[t]|y(t)-z(t)|=p(x,y)+p(y,z).

Метрическое пространство (M, ρ) называется полным, если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства.
Последовательность {Xn} точек метрического пространства называется фундаментальной, если для любого числа е>0 найдется номер N такой, что для любых натуральных n, m больше этого номера p(Xn,Xm)<e
Последовательность функций Хn (t) (n = 1, 2, ...) называется равномерно сходящейся на данном множестве к предельной функции X(t), если для каждого e > 0 существует такое N(e), что p(Xn,X) < e при n > N(e) сразу для всех точек t из данного множества.

Пусть дана фундаментальная последовательность {Xn(t)}, где каждый из ее элементов Xn(t) n=1,2,... из пространства непрерывных функций на нашем отрезке.
По определению фундаментальной последовательности, для любого е>0 найдется такой N, что
(*) p(Xn,Xm)=|Xn(t)-Xm(t)|<e при всех n,m> N и всех t из [a,b]
(каждый из элементов последовательности из пространства непрерывных функций на [a,b])

Критерий Коши. Для того чтобы функциональная последовательность Xn(t) сходилась равномерно на множестве {x} к некоторой предельной функции необходимо и достаточно, чтобы для любого e>0 нашелся номер N(e) такой, что |Xn+p(t) - Xn(t)|<e для всех натуральных p и n>N и всех t из [a,b] (доказательство см. в 3 стр 18).
Легко видеть, что из (*) следует равномерная сходимость. Действительно, пусть m>n тогда |Xn(t)-Xn+p(t)|<e для натуральных p и всех t из [a,b]

Теорема(сравните 4, стр 467).
Пусть функции Xn(t) определены в [a,b] и все непрерывны в некоторой точке t=t[size=1]0[/size] этого промежутка. Если Xn в этом промежутке сходится равномерно, то и предельная функция в точке t[size=1]0[/size] будет непрерывна.

Пусть X(t) предел последовательности {Xn(t)} =>X(t) также непрерывна на [a,b]

Устремив m к бесконечности, получим |Xn(t)-X(t)|<e при каждом фиксированном t из [a,b] и для всех n>N .
Поэтому p=sup[t из [a,b]]|Xn(t)-X(t)|<e , что значит {Xn(t)} сходится к X(t) в смысле метрики пространства C[a,b]

Доказательство теоремы.
Фихтенгольц формулирует ее для рядов, но доказательство хорошо переносится.
Теорема не является необходимым условием.
(=>)
При натуральном n и каждом фиксированном t из [a,b] можно представить X(t)=Xn(t)+Yn(t) и, в частности, X(t)=Xn(t[size=1]0[/size])+Yn(t[size=1]0[/size])
(**) Откуда |X(t)-Х(t[size=1]0[/size])| не превосходит |Xn(t)-Xn(t[size=1]0[/size])|+|Yn(t)|+|Yn(t[size=1]0[/size])|
Пусть e>0 Ввиду равномерной сходимости последовательности можно фиксировать номер n так, чтобы неравенство |Yn(t)|<e выполнялось для всех значений t из [a,b]. При фиксированном n, Хn(t) непрерывная функция t, например в t[size=1]0[/size]. По заданному e>0 найдется k>0 такое, что при всех t лишь только |t-t[size=1]0[/size]|<k => |Xn(t)-Xn(t[size=1]0[/size])|<e
Из ** Заключаем, что |t-t[size=1]0[/size]|<k => |X(t)-X(t[size=1]0[/size])|<3e это верно для любого t[size=1]0[/size] из [a,b]

Надеюсь, грубых ошибок не допустил. Всего доброго!

Приложение:
Литература.
1) Колмогоров, Фомин. Элементы функционального анализа.
2)Люстерник, Соболев Элементы функционального анализа.
3)Ильин, Позняк. Основы математического анализа, часть 2.
4)Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2.
5)Шрейдер. Что такое расстояние?
6)Статья в Викиучебнике: Метрическое пространство.
Посмотрите список литературы, статьи в Википедии "Пространство непрерывных функций", метрическое пространство, доказательство критерия Коши в 3.