Здравствуйте, Владимир Ульянов.

Решение задачи 1) следует из решения задачи 1) вопроса 177495. Вот ее решение, приведенное в том ответе мной:

Прежде всего отметим, что все точки множества лежат в интервале и различны при различных n:
1) αn=0 mod(1) <---> αn = целое ---> α=целое/n (противоречит иррациональности α)
2) αn=1 mod(1) <---> αn = 1 + целое ---> α=(1+целое)/n (противоречит иррациональности α)
3) если αn=αm mod(1) при n≠m, то αn=αm + целое --->α=(целое)/(n-m) (противоречит иррациональности α)

Пусть δ>0. Разобъем отрезок [0;1] на N равных частей так, чтобы длина каждого отрезка разбиения была меньше δ. Так как все точки рассматриваемого множества различны, то в интервале (0;1) находится бесконечное множество различных точек, следовательно хотя бы на одном отрезке разбиения [k/N;(k+1)/N] найдутся по крайней мере две различных точки нашего множества, т.е.
αn-m∈[k/N;(k+1)/N]
αs-p∈[k/N;(k+1)/N]
при некоторых целых n,m,s,p,k. Тогда расстояние между этими точками не более длины отрезка, которая меньше δ, т.е.
(αn-m∈[k/N;(k+1)/N])-(αs-p∈[k/N;(k+1)/N]) <δ
или, полагая t=n-s, получаем, что
x=(αt mod(1) <δ
Но тогда кратные x (x,2x,3x,...) являются точками нашего множества, располагающимися вдоль [0,1] с шагом меньшим δ. Отсюда следует, что для любой точки y отрезка [0;1] найдется точка нашего множества, которая удалена от y меньше, чем на δ. Это и означает, что рассмтриваемое множество всюду плотно