Здравствуйте, Боричева Яна Владимировна.
Концентрация ионов гидроксила в буферной системе, образованной слабым основанием и его солью равна:
С(OH-) = Kb * C(NH4OH) / C(NH4Cl), где Kb - константа диссоциации основания
С(OH-) = 1.79 * 10^-5 * 0.5моль/л / 0,5моль/л = 1,79*10^-5моль/л
Находим значение отрицательного десятичного логарифма рОН активности ионов гидроксида:
pOH = -lgC(OH-) = -lg1.79*10^-5 = 4.75
Исходя из равенства рН + рОН = 14, вычисляем рН; рН = 14-4,75 = 9,25

Буферные системы - это растворы, которые не изменяют рН среды при добавлении небольшого количества слабого основания или кислоты за счёт связывания активных ионов (H+ или OH-) в слабый электролит. Например, если к исходной буферной системе добавить сильную кислоту (например, соляную), то рН останется неизменной за счёт образования слабого электролита - воды:
NH4OH + HCl = NH4Cl + H2O
NH4OH + H+ = NH4+ + H2O
При добавлении сильного основания (допустим гидроксида натрия), активные Он--ионы свяжется в слабый электролит - гидроксид аммония (гидрат аммиака):
NH4Cl + NaOH = NH4OH + NaCl
NH4+ + OH- = NH4OH

Здравствуйте, Боричева Яна Владимировна.
Для буферного раствора существует формула рассчёта рН
pH=pK_a+lg(C(A^-)/C(HA))
C(A^-) - концентрация основания (в данном случае NH₄OH)
C(HA) - концентрация кислоты (в данном случае NH₄Cl, точнее ион аммония NH₄⁺)
pK_a - показатель константы кислотности. Так как дана константа диссоциации основания (K_b), произведём рассчёт
pK_a=14-pK_b=14+lg(K_b)=9,25
При равных концентрациях сопряжённых кислоты и основания логарифм в формуле рассчёта рН равен нулю и pH=pK_a=9,25

Принцип действия буферного раствора - при добавлении небольших количеств кислоты или основания немного изменяются концентрации сопряжённых кислоты и основания, следовательно их отношение также изменяется незначительно. В результате логарифм этого отношения, а следовательно и рН, также изменяется очень незначительно.

Достаточно подробно свойства буферных растворов описаны в статье на Wikipedia