Здравствуйте, SkyNET//!

Если разыскивается экстремум функции нескольких переменных, связанных между собой уравнениями связи (число которых должно быть меньше числа переменных), то говорят об УСЛОВНОМ экстремуме. При решении задачи обычно пользуются методом неопределенных множителей Лагранжа.

Рассмотрим случай функции двух переменных. Чтобы найти условный экстремум функции z=f(x, y) при наличии уравнения связи ф(x, y)=0, составляют функцию Лагранжа F(x, y)=f(x, y)+лф(x, y), где л - неопределенный постянный множитель, и ищут ее экстремум.

Необходимые условия условия экстремума функции Лагранжа, выражаются системой трех уравнений с тремя неизвестными: дF/дx=дf/дx+л*дф/дx=0, дF/дy=дf/дy+л*дф/дy=0, ф(x, y)=0.

Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается, исходя из знака второго дифференциала функции Лагранжа
д^2 F=F‘‘xx*dx^2+2*F‘‘xy*dxdy+F‘‘yy*dy^2 для испытуемой системы значений x, y, л, полученной из указанной выше системы трех уравнений при условии, что dx и dy связаны уравнением (дф/дx)dx+(дф/дy)dy=0 (dx^2+dy^2 не равно нулю).

Если второй дифференциал функции Лагранжа отрицателен (положителен), то функция f(x, y) имеет условный максимум (минимум).

Пример - в приложении.

Приложение:
Пусть, например, требуется найти экстремум функции z=9-8x-6y при условии, что ее аргументы связаны между собой уравнением x^2+y^2=25. Геометрически такая задача сводится к нахождению экстремальных значений аппликаты z точек пересечения плоскости z=9-8x-6y с круговым цилиндром x^2+y^2=25.Решение: функция Лагранжа F=9-8x-6y+л(x^2+y^2-25), ее частные производные дF/дx=-8+2лx, дF/дy=-6+2лy, необходимые условия экстремума функции Лагранжа суть -8+2лx=0, -6+2лy=0, x^2+y^2-25=0, решения (x, y, л)полученной системы: 1) (4; 3; 1), 2) (-4, -3, -1), вторые частные производные F‘‘xx=2л, F‘‘xy=0, F‘‘yy=2л, второй дифференциал d^2 F=2л(dx^2+dy^2). Поскольку d^2 F>0 при 1) и d^2 F<0 при 2), то (4; 3) - точка условного минимума, (-4; -3) - точка условного максимума, причем min f=f(4; 3)=-41, max f=f(-4; -3)=59.Проверьте, пожалуйста, выкладки, которые я опустил.