Здравствуйте, X-men!

Задача 4. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному условию. Сделать проверку.
y‘‘ + 4*y‘ + 3*y = 0, y(0) = 1, y‘(0) = -1
<hr>
Характеристическое уравнение для данного: r² + 4r + 3 = 0
Корни данного уравнения: r₁ = -3; r₂ = -1.

Следовательно <b>общее решение</b> данного дифференциального уравнения будет:
y = C₁e^-3x + C₂e^-x
y‘ = -3C₁e^-3x - C₂e^-x

Подставим исходные условия (y(0) = 1, y‘(0) = -1), получим такую систему:
C₁ + C₂ = 1
-3C₁ - C₂ = -1
Решая данную систему легко получить, что <b>C₁=0, C₂=1.</b>

Следовательно <b>частное решение</b> будет: y=e^-x

Проверка:
y‘ = -e^-x
y‘‘ = e^-x
y‘‘ + 4*y‘ + 3*y = e^-x-4e^-x+3e^-x = 0.

Good Luck!!!

Здравствуйте, X-men!

Задача 5. Исследовать положительный числовой ряд ^∞∑_n=1u_n на сходимость.

1) u_n = 2ⁿ/3²ⁿ.

Воспользуемся радикальным признаком Коши:
(u_n)^1/n = (2ⁿ/3²ⁿ)^1/n = 2/3² < 1.
Ряд сходится.

2) u_n = (2n)!/7ⁿ.

Воспользуемся признаком Даламбера в предельной форме.
u_n+1/u_n = (2n+2)!/7ⁿ⁺¹ * 7ⁿ/(2n)! = (2n+1)(2n+2)/7,
lim_n→∞u_n+1/u_n = lim_n→∞(2n+1)(2n+2)/7 = ∞.
Ряд расходится.

3) u_n = (n³ + 7)/(n⁴ + 1).

Применим предельный признак сравнения. Ряд с общим членом v_n = 1/n расходится.
lim_n→∞u_n/v_n = lim_n→∞(n⁴ + 7n)/(n⁴ + 1) = lim_n→∞(1 + 7/n³)/(1 + 1/n⁴) = 1 ≠ 0.
Следовательно, ряд ^∞∑_n=1(n³ + 7)/(n⁴ + 1) расходится.