Здравствуйте, Londarion!
инт ((3x^2+x-1)/(x(x+2)^2))dx
(3x^2+x-1)/(x*(x+2)^2) -- преобразуем по методу неопределенных коэффициентов
(3x^2+x-1)/(x*(x+2)^2)=A/x + B/(x+2)+C/(x+2)^2
Приводим к общему знаменателю (он совпадает с исходным знаменателем)
[А(x+2)^2+B*x*(x+2)+C*x]/[x*(x+2)^2]
Так как знаменатели равны, то должны быть равны и числители
Работаем с числителями
А(x+2)^2+B*x*(x+2)+C*x=A*x^2+4A*x+4A+B*x^2+2B*x + Cx=
=x^2*(A+B) + x *(4A+2B+C) +4A
Приравниваем коэффициенты
А+B=3
4A+2B+C=1
4A=-1

Решая систему получаем
A=-1/4 B=3,25 C=-4,5

Исходный интеграл превращается в
инт((-1/4)/x + 3,25/(x+2) -4,5/(x+2)^2)dx
преобразуем этот интеграл в сумму/разность интегралов
-1/4*инт(1/x)dx + 3,25 инт (1/(x+2))dx - 4,5инт(1/(x+2)^2) dx
Первый интеграл = ln(x)
Второй = ln(x+2)
Третий инт(1/(x+2)^2)dx=инт((x+2)^(-2))dx=(x+2)^(-1)/(-1)
Остается только домножить их на коэффициенты и добавить постоянную с.

2) инт(arctg3x)dx -- интегрируем по частям
u=arctg3x du=(3/(1+(3x)^2))dx
dv=dx v=x
исходный интеграл преобразуется в
x*arctg(3x) - инт(3x/(1+(3x)^2))dx

инт(3x/(1+(3x)^2))dx за t=1+(3x)^2 dt=18x dx
инт(3x/(1+(3x)^2))dx=инт(3x/(1+(3x)^2)/18x)d(1+(3x)^2)=
=(1/6) * инт dt/t
инт dt/t = ln(t)+c
Подставляем вместо t =1+(3x)^2