Здравствуйте, Иван Васильевич!

Решить все предложенные Вами задания и к тому же "очень срочно" не берусь: слишком трудоёмко и велика вероятность ошибиться. Но покажу Вам, как это делается, рассмотрев формулу 20:





А что касается формулы 21, то воспользовавшись формулой (X [$8594$] Y) = ([$172$]X [$8744$] Y), устанавливается, что она представляет собой истинное высказывание, т. е.


Действительно,


и, всегда истинно, что


Если Вы знакомы с формулами, выражающими свойства логических операций, то сумеете выполнить задания. Надеюсь, что и другие эксперты подключатся к консультированию.

Далее, по-моему, выражения 1 - 4, 13, 14, 16, 18 не являются формулами, потому что понятие формулы алгебры высказываний определяется следующим образом:
1) всякая пропозициональная переменная есть формула;
2) если f1 и f2 - формулы, то выражения [$172$]f, (f1 [$8743$] f2), (f1 [$8744$] f2), (f1 [$8594$] f2), (f1 [$8596$] f2) - также являются формулами;
3) других формул, кроме построенных по правилам двух предыдущих пунктов, нет.

А какой операцией соединены, например, в выражении 1 его части, заключённые в скобки?

С уважением.

Здравствуйте, Иван Васильевич Митяев!
5
((-x -> -r)\/(-x -> -q)) -> (-x -> (-r\/-p))=((x V -r) V (x V-q))-> (x V (-r\/-p))=(x V -r V -q)-> (x V -r \/-p)=(-x & r & q) V (x V -r \/-p)=(r & q) V (x V -r \/-p)= q V x V -p
Здесь мы используем формулу a V (- a & b) = a V b
6
((z -> r)&(z -> -q)) -> (z -> (r&-q))=((-z V r)&(-z V -q)) -> (-z V (r&-q))=(-z V (r&-q)) -> (-z V (r&-q))=1
7
(-x -> -r) -> ((-p -> -r) -> ((-x&-p) -> -r))=(x V -r) -> ((p V -r) -> (-(-x&-p) V -r))=(x V -r) -> ((p V -r) -> (x V p V -r))=
(x V -r) -> ((p V -r) -> (x V p V -r))=(x V -r) -> (-p &r) V (x V p V -r))=(x V -r) -> (-p V (x V p V -r))=(x V -r) ->1=1

8
((-z&r) -> -q) ~ (z -> (r -> -q))=(-(-z&r) V -q) ~ (-z V (-r V -q))=(z V -r V -q) ~ (-z V -r V -q)=
((z V -r V -q)&(-z V -r V -q))V(-(z V -r V -q)&-(-z V -r V -q))=(-r V -q)V((-z&-r&q)&(z & r & q))=(-r V -q)

9)

(-x -> (-r -> -p)) -> ((-x -> -r) -> (-x -> -p))= (x V (r V -p)) -> ((x V -r) -> (x V -p))= (x V r V -p) -> (-x & r) V x V -p))=
(x V r V -p) -> ( r V x V -p)=1

10)
((z&r) ~ r) ~ (r -> z)= ((z&r)& r V(-(z&r)& -r))~ (-r V z)= ((z&r V(-z V -r)& -r)) ~ (-r V z)=((z&r V-r)) ~ (-r V z)=(z V-r) ~ (-r V z)=1

11
-((x&-r)&(-x\/-p))=(-(x&-r)V-(-x\/-p))=((-x V r) V (x & p))=(-x V r)

12)

((z&r) -> -q) ~ (z -> (r -> -q))= (-(z&r) V -q) ~ (-z V (-r V -q))= ((-z V -r) V -q) ~ (-z V (-r V -q))=(-z V -r V -q) ~ (-z V -r V -q)=1

15)
((-x -> -r)\/(-x -> -p)) -> (-x -> (-r\/q))= ((x V -r)\/(x V -p)) -> (x V (-r\/q))=(x V -r V -p) -> (x V -r \/ q)=-(x V -r V -p) V (x V -r \/ q)=(-x & r & p) V (x V -r \/ q)=( r & p) V (x V -r \/ q)= p V x V -r \/ q

17)
(-x -> -r) -> ((q -> -r) -> ((-x&q) -> -r))= (x V -r) -> ((-q V -r) -> (-(-x&q) V -r))= (x V -r) -> ((-q V -r) -> (x V -q V -r))=(x V -r) ->1=1

19
(-x -> (-r -> q)) -> ((-x -> -r) -> (-x -> q))=(x V (r V q)) -> ((x V -r) -> (x V q))=(x V r V q) -> (-(x V -r) V (x V q))=
(x V r V q) -> ((-x & r) V x V q)=(x V r V q) -> (-r V x V q)=-(x V r V q) V(-r V x V q)=-x&r&q V -r V x V q=q V -r V x V q=q V -r V x

22
((z&-r) -> -p) ~ (-z -> (-r -> -p))=(-(z&-r) V -p) ~ (z V (r V -p))=(-z V r V -p) ~ (z V r V -p)=1

23
((-x&-r) -> q) ~ (-x -> (-r -> q))=(-(-x&-r) V q) ~ (x V (r V q))=(xV r V q) ~ (x V r V q)=1

24
((-z&-r) ~ -r) ~ (-r -> -z)= (((-z&-r) & -r) V (-(-z&-r) & r)) ~ (r V -z)=((-z&-r) V ((z V r) & r)) ~ (r V -z)=((-z&-r) Vr) ~ (r V -z)=
(-z Vr ) ~ (r V -z) = 1