Здравствуйте, sans!
1. Требование вернуть деньги за обучение в случае увольнения было бы законным, если бы Вы согласились с этим условием ДО прохождения обучения! Для этого должен был быть подписан ученический договор, где это требование и было бы прописано (ст. 198-208 ТК РФ). Ставить какие либо условия ПОСЛЕ обучения работодатель не вправе!
2. Шансов вернуть деньги через госинспекцию труда в данном случае не будет! Государственная инспекция труда при проведении проверок руководствуется ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО ДОКУМЕНТАМИ! Ваша подпись будет являться согласием того, что Вы приняли условия работодателя и гострудинспекция в этом случае не поможет. Доказать то, что Вы подписали договор ПОСЛЕ обучения, под давлением работодателя, Вы сможете только в суде, на основании показаний свидетелей, хотя и это проблематично.
3. В трудовом законодательстве отсутствует понятие "обходной лист" или что либо подобное, поэтому на основании ст.140 окончательный расчет с Вами должен быть произведен в день увольнения, независимо от подписания каких либо документов, вроде "бегунков", актов приема-передачи и пр.
Действует принцип: Начисляется заработная плата на день увольнения, начисляется (удерживается) компенсация за неиспользованные (неотработанные) дни отпуска, а то, что Вы должны предприятию и на это есть документы - удерживается из Вашей заработной в соответствии со ст.137-138 и ст.241 ТК РФ

Если наличие удостоверения является обязательным условием допуска Вас до работы, работодатель вправе (и даже обязан!) отстранить Вас от работы (ст.76 ТК РФ)


P.S. Совет из опыта работы: Вообще-то требование вернуть деньги за обучение в случае досрочного (в разумных сроках) увольнения по инициативе работника, является обычной практикой, которой в трудовом законодательстве посвящена целая глава, поэтому если хотите работать на данном предприятии не обостряйте конфликт, подписывайте ученический трудовой договор "задним" числом и считайте, что Вас с ним ознакомили ДО обучения.

Здравствуйте, sans!
Я согласен с ответами эксперта Perkussi на все 3 вопроса.
Какие действия предпринимать, решать Вам самому, потому что действительно, если решать всё по закону, то это может не понравиться администрации и к Вам могут быть предприняты определённые "репрессии". К сожалению, многие руководители считают себя едва ли не царями на предприятии. Кстати, заключением ученических договоров занимается отдел кадров перед отправкой работника на обучение. Не понимаю, при чём здесь отдел охраны труда.
Расскажу, как бы действовал я. Я уведомил бы лично работодателя о том, что обучение пройдено, однако в отделе охраны труда документы об обучении не отдают, чем создают опасность применения санкций со стороны Ростехнадзора. Далее действовал бы по ситуации.
Сомневаюсь, что руководитель захочет, чтобы его штрафовали.

Здравствуйте, sans!
Обязательства могут возникать из договоров, хотя и не предусмотренных гражданским законодательством, но не противоречащих ему (п. 1 ст. 8 ГК). Так, суд признал юридическую силу за договором,в силу которого колхозники, направленные в вуз, обязаны возместить выплаченные им колхозом стипендии в случае отказа вернуться на работу в колхоз после окончания вуза (Бюллетень Верховного Суда СССР. 1979. № 4. С. 22.). Возможность заключения такого договора прямо не предусмотрена ни одним нормативным актом гражданского законодательства. Однако заключение подобного рода договоров допускается, поскольку они не приворечат гражданскому законодтельству.

Предприятие может безвозмездно для Вас оплачивать Ваше обучение, поскольку это ему производственно необходимо, но с др. стороны, если оно хочет не потерять потраченные деньги (в случае Вашего увольнения), ему нужны гарантии (Ваш страх вернуть потраченные деньги) Вашей преданности.

Вашу трудовую книжку не имеют прав удерживать, а если и попытаются, то это им и хуже будет, так как Вы можете обратиться в суд с требованием о компенсации за время вынужденного прогула т.к. не можете устроиться на новую работу.
Что касается "обходняка", то этого не предусматривает трудовое законодательство и, соответственно, унижаться и бегать ни за кем не следует. Повторяю никаких обходников не существует, я когда увольнялся 3 года назад, просто написал заявление и через 2 недели прекратил работу. Мне предложили стандартный обходной листок, но я объяснил, что не надо самоуправством заниматься, а то куда следует сообщу, и меня больше не беспокоили.