Здравствуйте, Барон Александр Михайлович!

Согласно части 4 стати 58 ТК РФ в случае, когда ни одна из сторон не потребовала расторжения срочного трудового договора в связи с истечением срока его действия и работник продолжает работу после истечения срока действия трудового договора, условие о срочном характере трудового договора утрачивает силу и трудовой договор считается заключенным на неопределенный срок.

Это Ваш случай, следовательно можно считать, что трудовой договор у Вашей дочери заключен на неопределенный срок.

Согласно части 4 статьи 261 ТК РФ расторжение трудового договора с женщинами, имеющими детей в возрасте до трех лет, одинокими матерями, воспитывающими ребенка в возрасте до четырнадцати лет (ребенка-инвалида до восемнадцати лет), другими лицами, воспитывающими указанных детей без матери, по инициативе работодателя не допускается, в том числе и в связи с сокращением численности или штата работников организации.
Исключения из вышеуказанного правила составляют увольнения по основаниям, предусмотренным пунктами 1, 5 - 8, 10 или 11 части первой статьи 81 или пунктом 2 статьи 336 настоящего ТК РФ, но к Вашей ситуации они не имеют отношения.

Таким образом, работадатель, увольняя Вашу дочь, нарушает нормы трудового законодательства.

Здравствуйте, Барон Александр Михайлович!
1. О пособии Вам лучше проконсультироварься в местном отделении Фонда Социального Страхования, т.к. порядок начисления и выплаты данного пособия определяется их нормативными актами.
2.Вопросы трудового стажа входят в компетенцию Пенсионного Фонда РФ, поэтому получить консультацию лучще у них, т.к. в последствии исчислять и выплачивать пенсию будут они. Если же имеется ввиду "непрерывный стаж для медицинских работников" дающий право на определенную доплату, то лучше действительно оформить отпуск по уходу за ребенком в данном медицинском учреждении. Так, по крайней мере, не возникнут вопросы на новом месте работы по окончании отпуска.
3.Без текста договора говорить о чем-либо конкретном в данном случае практически невозможно.
Возможны несколько вариантов, и в зависимости от формулировки могут быть совершенно различные правовые последствия. Например, если четко указан срок окончания договора и ни одна из сторон не заявила к этому сроку о расторжении договора, то договор считается заключенным на неопределенный срок (бессрочным). Другой вариант, что был заключен ученический договор и соответственно после окончания "ученичества", в данном случае интернатуры, договор прекращает действие. Если есть возможность, приложите скан договора и документа, продлевающего срок интернатуры.
Обратите внимание, что "истечение срока действия договора" (п.2 ст.77 ТК РФ) не подпадает под определение "по инициативе работодателя" (п.4 ст.77 ТК РФ) , поэтому увольнение женщины, имеющей ребенка в возрасте до 3-х лет и даже беременных ВОЗМОЖНО!