Здравствуйте, Ляпунов Роман Игоревич!

Трудовой кодекс РФ четко говорит о том, что факт допуска работника к работе считается заключением трудового договора, а обязанность оформить трудовые отношения в таком случае в 3-х дневный срок всецело лежит на работодателе (ч. 3 ст. 67, ст. 68 ТК РФ).
Раз трудовые отношения возникли, то данные отношения подпадают под сферу действия ТК РФ и, следовательно, могут быть прекращены только по основаниям установленным ТК РФ (ст. 77, 81 ТК РФ). Если работодатель уволил работника по своей прихоти, а не по основниям, предусмотренным ст. 81 ТК РФ, то это может послужить основанием для обращения в инспекцию по труду либо в суд.
Причем, согласно ст. 140 ТК РФ выплата всех сумм, причитающихся работнику, производится в день его увольнения, а за задержку выплат работодатель несет материальную ответственность в соответствии с положениями ст. 236 ТК РФ.

Таким образом, трудовой договор был заключен (на основании ч. 3 ст. 67 ТК РФ в силу фактического допуска). Доказательством могут послужить любые данные. Раз трудовые отношения нигде в письменной форме не были отражены, то необходимы свидетельские показания. Трудовую функцию вы не указали, но полагаю, что за месяц уже появился какой-либо результат труда работника - деловые контакты, переписка, выполненные работы и тд.

Здравствуйте, Ляпунов Роман Игоревич!
По возможности нужно найти свидетелей. Для подтверждения работы подойдут практически любые документы с места работы: пропуск, ведомость выдачи форменной одежды, заявки организации. При рассмотрении судебного дела Вы будете подробно излагать обстоятельства, при которых у Вас оказались данные документы (например, пропуск - при приеме на работу)

Здравствуйте, Ляпунов Роман Игоревич!
На данный момент могу предложить только один вариант решения проблемы
1. Обратиться в государственную инспекцию по труду (иногда достаточно и этого).
2. Постараться собрать любые документы свидетельствующие о факте допуска к работе: удостоверения по технике безопасности, росписи в журналах учета (человек, проработавший месяц где-то все равно расписывался. с приказами какими-либо ознакамливался).Найти не менее двух свидетелей, которые могут засвидетельствовать факт работы (предполагаю, что от имени этой организации он взаимодействовал с другими людьми).
3. Обратиться в суд и в прокуратуру.
Попробуйте более детально уточнить сведения и напишите в мини-форум вопроса для более полного рассмотрения вопроса.
Желаю удачи.