Решение 3-го уравнения.Перепишем заданное уравнение в видеy‘+5*y/(1-5*x)=((1-5*x)^2)*sin (4*x-1) (x не равно 1/5) (1).Соответствующее однородное ДУ имеет видy‘+5*y/(1-5*x)=0.Решаем его:dy/dx=5*y/(5*x-1), dy/(5*y)=dx/(5*x-1), y=C*(5*x-1) - общее решение однородного ДУ.Решение неоднородного ДУ ищем методом Лагранжа, т. е. в виде y=C(x)*(5*x-1).Из уравнения (1) получаем:C‘(x)*(5*x-1)+5*C(x)+5*C(x)*(5*x-1)/(1-5*x)=(1-5*x)*(4*x-1), откуда C‘(x)=-sin (4*x-1), C(x)=(1/4)*cos (4*x-1)+C. Следовательно, общее решение заданного ДУ имеет вид y=((1/4)*cos (4*x-1)+C)*(5*x-1).

Решение 4-го уравнения.Имеем линейное неоднородное ДУ 1-го порядка с переменными коэффициентами. Перепишем его в виде 4*x*y*dx+((y^2)-4*(x^2))dy=0 (1). Поскольку частная производная DN/Dy=D(4*x*y)/Dy=4*x не равна частной производной DM/Dx=D((y^2)-4*(x^2))/Dx=-8*x, то уравнение (1) не является уравнением в полных дифференциалах, и умножим его на некоторый интегрирующий множитель.Поскольку функция (DM/Dx-DN/Dy)=(-8*x-4*x)/(4*x*y)=-3/y зависит только от одной переменной y, то искомый интегрирующий множительp=p(y)=exp (-3*Integral (dy/y))=1/(y^3).Умножая уравнение (1) на p(y), получаем4*x*dx/(y^2)+((y^2)-4*(x^2))*dy/(y^3)=0, DN1/Dy=-8*x/(y^3), DM1/Dx=-8*x/(y^3), то есть частные производные равны, и уравнение (1) приведено к виду уравнения в полных дифференциалах.Находим интегралы:Integral (N1(x, y)*dx)=Integral (4*x*dx/(y^2))=2*(x^2)/(y^2)+п(y) (2),Integral (M1(x, y)*dy)=Integral ((y^2)-4*(x^2))*dy/(y^3)=ln |y|+2*(x^2)/(y^2)+ф(x) (3).Приравнивая выражения (2) и (3), получаем уравнение 2*(x^2)/(y^2)+п(y)=ln |y|+2*(x^2)/(y^2)+ф(x), откуда находим ф(x)=0, п(y)=ln |y|.Общий интеграл заданного уравнения:ln |y|+(2*(x^2))/(y^2)-C=0.

Спасибо большое! Сейчас попробую разобраться...

Вот такой вопрос по 4ому уравнению:Как мы находим вот это выражение p=p(y)=exp (-3*Integral (dy/y))=1/(y^3) ?? И там экспонента умножается на выражение?И ещё вопросик по 3му уравнения:y‘+5*y/(1-5*x)=0. Решаем его: dy/dx=5*y/(5*x-1), dy/(5*y)=dx/(5*x-1), y=C*(5*x-1)А как вы решили? Там же, если проинтегрировать dy/(5*y)=dx/(5*x-1) получится 1/5*Ln(y)+C=1/5*Ln(x-1)+C. Чё-то понять не могу =(

Ответ по решению третьего уравнения:dy/(5*y)=dx/(5*x-1),(1/5)*ln |5*y|=(1/5)*ln |5*x-1|+C2 (С2=(1/5)*ln |C1|),(1/5)*ln |5*y|=(1/5)*ln |C1*(5*x-1)|,5*y=C1*(5*x-1),y=(1/5)*C1*(5*x-1), C=(1/5)*C1,y=C*(5*x-1).

Ответ по решению 4-го уравнения:Да, после потенцирования мы получаем приведенное мной в решении выражение. Ведь (-3)*Integral (dy/y)= (-3)*ln |y|=ln |y^(-1/3)|=ln |1/(y^3)|, а e^(ln |1/(y^3)|=1/(y^3), согласно определению логарифма.

3е уравнение:dy/(5*y)=dx/(5*x-1), (1/5)*ln |5*y|=(1/5)*ln |5*x-1|+C2 (С2=(1/5)*ln |C1|)Хмм...так если взять интегралы от обоих частей, тобудет же(1/5)*Ln|y|+C1=(1/5)*Ln|x-1/5|+C2 ?? Или я не прав??И ещё вопрос: Почему C2=(1/5)*Ln|C1| ??

Вам необходимр прочитать в учебной литературе о выборе произвольных постоянных интегрирования. Руководствуются удобством дальнейших преобразований. По какому учебнику Вы проходите теорию?

Демидович

Не самый подходящий учебник, судя по задаваемым Вам уравнениям. Я бы рекомендовал по дифурам учебник Петровского или хотя бы Пискунова. Успехов Вам!

Благодарю!