давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
07.09.2006, 16:11
общий
это ответ
Здравствуйте, BobrKiller!
Решение задачи 2 - в приложении.
Решение задачи 5: Через вершины данного треугольника провёдем прямые, параллельные противолежащим сторонам. Рассмотрим треугольник с вершинами в точках пересечения проведённых прямых. Высоты исходного треугольника лежат на серединных перпендикулярах построенного. Поэтому они пересекаются в одной точке.
Решения имеются на сайте www.problems.ru.
Остальное - на форуме.
С уважением.
Приложение:
Решение задачи 2: Докажем, что любые две медианы тетраэдра пересекаются и делятся точкой пересечения в отношении 3 : 1, считая от вершины. Отсюда будет следовать, что через точку, делящую одну из медиан тетраэдра в отношении 3 : 1, считая от вершины, проходят остальные три медианы.Пусть M и N - точки пересечения медиан граней ABC и ABD тетраэдра ABCD, K - середина AB. Плоскость, проходящая через точки D, K и C содержит точки M и N, причем стороны CK и DK треугольника DKC делятся этими точками в одном и том же отношении:CM : MK = DN : NK = 2 : 1.Из подобия треугольников KCD и KMN следует, чтоCD : MN = KC : KM = 3 : 1.Пусть отрезки DM и CN пересекаются в точке O. Из подобия треугольников DOC и MON следует, чтоOD : OM = OC : ON = CD : MN = 3 : 1,что и требовалось доказать.
Об авторе:
Facta loquuntur.