Здравствуйте, Иринка.
Дано:
х₁ = 3cos(2пt)(см)
х₂ = 4cos(2пt +п/4 )(см)
Найти: А, φ
Построить векторную диаграмму.
Решение:
Начнем с векторной диаграммы.
Графическое представление колебательных процессов в виде вращающегося вектора амплитуды широко используется. Вектор А вращается вокруг начала координат с угловой скоростью ω. При этом проекция конца вектора на ось координат колеблется с циклической частотой ω. Если точка участвует одновременно в двух колебательных процессах одной частоты, то нахождение результирующего колебания сводится к нахождению векторной суммы двух соответствующих амплитуд.
А=А₁+А₂
При этом его частота вращения ω будет совпадать с частотой вращения слагаемых А₁ и А₂.
Уравнение гармонических колебаний в общем виде:
x=Acos(ωt+φ)
Следовательно имеем:
- для первого колебательного процесса А₁=3 см, ω=2π с^-1, φ₁=0;
- для второго колебательного процесса А₂=4 см, ω=2π с^-1, φ₂=π/4.
Построение начинаем с вектора А₁ - откладываем его длину в масштабе вдоль оси х.
Затем под углом φ₂ к оси х откладываем в масштабе вектор А₂.
Достраиваем до параллелограмма - проводим диагональ - получили искомый вектор амплитуды А результирующего колебания (см.рис.).

В принципе, по построению всё.
Длину результирующего вектора А найдем по теореме косинусов
А²=А₁²+А₂²+2А₁А₂*cosφ₂
A²=3²+4²+2*3*4*cosπ/4 = 41,97 см²
⇒
А=√41,97≈6,5 см
Теперь по углу φ
Из чертежа видно, что
tgφ=A₂*sinφ₂/(A₁+A₂*cosφ₂)
tgφ=4*sin(π/4)/(3+4*cos(π/4))=2,83/(3+2,83)≈0,485
⇒
φ≈arctg(0,485)≈26°≈π/7
В завершение запишем уравнение результирующего колебания:
x=6,5*cos(2πt+π/7) (см)
*********
Удачи

Последнее редактирование 17.06.2022, 00:36 Konstantin Shvetski (Модератор)