Консультация онлайн # 202937

Раздел: Математика
Автор вопроса: skydreamagain (Посетитель)
Дата: 29.05.2022, 12:46 Консультация неактивна
Поступило ответов: 1
Здравствуйте! Прошу помощи в следующей задаче: В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка К - середина ребра AD, точка М - середина ребра AB, а точка N - середина ребра BC. Точки P, Q и R лежат на отрезках SK, SМ и SN соответственно, причем SP:PK=2:1, SQ:QM=4:7, а R - середина отрезка SN. В каком отношении плоскость PQR делит ребра пирамиды, которые она пересекает?
Здравствуйте, skydreamagain !
Условие: В правильной 4х-угольной пирамиде SABCD основание ABCD - квадрат. Точки К, M, N - середины рёбер AD, AB и BC соответственно. Точки P, Q, R делят апофемы SK, SМ и SN в соотношениях Spk = 2 , Sqm = 4/7 , SrN = 1 .
Вычислить отношения, на которые плоскость PQR делит рёбра пирамиды.

Решение: Столь трудоёмкую задачу с множеством прямых и плоскостей в 3х-мерном пространстве лучше решать методом Аналитической геометрии. Расположим пирамиду в 3х-мерную систему координат в таком виде, как Вы уже начали решать и показали на рисунке в ниже-минифоруме. Пусть центр квадрат-основания совпадает с началом координат. Для построения рисунка надо задать какие-то размеры. Пусть сторона квадрата = 8 ед, а высота пирамиды - 10 ед. Эти величины НЕ влияют на искомые отношения (это можно будет проверить в конце Решения).

Тогда координаты вершин пирамиды будут A(-4 ; 4 ; 0) , B(4 ; 4 ; 0) , C(4 ; -4 ; 0) , D(-4 ; -4 ; 0) , S(0 ; 0 ; 10).
Серединные точки К, M, N имеют соответственно серединные координаты: K(-4 ; 0 ; 0) , M(0 ; 4 ; 0) , N(4 ; 0 ; 0) .

Для вычисления координат точек P, Q, R читаем учебную статью "Формулы деления отрезка в заданном отношении" Ссылка1 и используем формулу
M = (A + λ·B) / (1 + λ) , где M - точка, делящая отрезок AB в отношении λ = AM / MB .

PQ = Q - P и PR = R - P - направляющие векторы отрезков PQ и PR (см "Уравнение прямой в пространстве" Ссылка2 ).
Векторное произведение этих векторов даёт нам Вектор нормали n плоскости PQR . Читаем статью "Уравнение плоскости. Как составить уравнени плоскости?" Ссылка3 и составляем уравнение плоскости β = PQR .

Ищем координаты точек пересечения плоскости β с рёбрами пирамиды. Сначала составляем Параметрические уравнения прямых-рёбер (см ссылку2). Затем в уравнении плоскости β заменяем текущие координаты x, y, z на параметрические компоненты рёбер. Решаем полученные уравнения и получаем координаты точек пересечения. Подробно см статью "Взаимное расположени прямой и плоскости. Основные задачи" Ссылка4 .

Вы можете вычислять и решать уравнения любым удобным Вам способом (на бумажке, используя Windows-калькулятор, OnLine-калькуляторы…). Я люблю вычислять в популярном приложении Маткад (ссылка5) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с вычислениями и эскизом прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
Ответ: плоскость PQR делит только 3 рёбра пирамиды: AD, AS и BS. При этом отношения поделенных отрезков равны :
AW / WD = 3 / 1 ; AL / LS = 3 / 2 ; BE / ES = 2 / 1 . Эти отношения НЕ зависят от размеров пирамиды, проверка сделана.

МаткадКонструкция типа ta := Уравнение solve,t означает Решить уравнение, прописанное слева от solve относительно искомой переменной t, и затем присвоить полученный результат в переменную ta .
Оператор stack(A, B, C) объединяет числовые данные в вектор-столбец.
Символ := означает оператор присваивания. Символ = - вывести на экран в числовом виде. Символ - вывести на экран в символьном виде (имена переменных с операндами либо в виде простой, неокруглённой дроби).
Я старался объяснить все действия подробно. Если Вам что-то непонятно, задавайте вопросы в ниже-минифоруме. =Удачи!

Последнее редактирование 01.06.2022, 12:59 Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)


Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
30.05.2022, 11:24
5
Спасибо!

Мини-форум консультации # 202937

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

326370

= общий =    29.05.2022, 13:52
Здравствуйте, skydreamagain! Сообщите, пожалуйста, какая конкретно помощь Вам нужна.
=====
Facta loquuntur.
skydreamagain

Посетитель

ID: 406066

326371

= общий =    29.05.2022, 14:29
Пожалуйста помогите с рёбрами. Построил сечение, но не понимаю, как найти отношения, в которых сечение делит ребра.
Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт

ID: 17387

326372

= общий =    29.05.2022, 14:45
Я сейчас не располагаю временем для того, чтобы заняться решением этой задачи, хотя и представляю себе, как её можно решить. Предлагаю Вам выложить в этом мини-форуме сделанные Вами рисунки, чтобы эксперты раздела могли проконсультировать Вас.
=====
Facta loquuntur.
skydreamagain

Посетитель

ID: 406066

326373

= общий =    29.05.2022, 15:20
Хорошо.

-----
Прикрепленные файлы:

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

326387

= общий =    30.05.2022, 08:27
Я уже решил Вашу задачу. Мне понадобится ещё пару часов начертить 3х-мерный рисунок и сверстать Ответ.
skydreamagain

Посетитель

ID: 406066

326389

= общий =    30.05.2022, 11:38
Спасибо за помощь!
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

326390

= общий =    30.05.2022, 11:51
НаЗдоровье Вам! Заходите, когда будет нужно. smile
Анатолий

Посетитель

ID: 400728

326437

= общий =    04.06.2022, 13:30
Здравствуйте, подскажите из какого учебника, задачника взяли эту задачу , и в каком классе ?
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.