Здравствуйте, y.kharitonova42!

Согласно Вашему сообщению в мини-форуме консультации, требуется доказать, что

А\(В пересекает С) = (А\В) объединяет (А\С)

или, в символах теории множеств, что A\(B∩C)=(A\B)∪(A\C).

Обозначим множество в левой части тождества через X₁, а множество в правой части тождества -- через X₂. Докажем, что X₁=X₂, то есть эти множества совпадают.

Пусть элемент x принадлежит множеству X₁. Тогда он принадлежит множеству A и не принадлежит общей части, или пересечению, множеств B и C. Значит, он принадлежит дополнению пересечения множеств B и C, или множеству ¬(B∩C), которое, согласно закону де Моргана, тождественно множеству (¬B)∪(¬C). Значит, элемент x принадлежит множеству A и хотя бы одному из множеств (¬B) и (¬C) (одному из них или обоим сразу). А это значит, что элемент x принадлежит объединению множеств (A∩(¬B)) и (A∩(¬C). Все элементы первого из этих множеств не принадлежат множеству B, все элементы второго из этих множеств не принадлежат множеству C. Поэтому элемент x принадлежит объединению множеств A\B и A\C, или множеству X₂=(A\B)∪(A\C). Тем самым доказано, что множество X₁ является подмножеством множества X₂.

Обратно, пусть элемент x принадлежит множеству X₂. Тогда он принадлежит множеству A и не принадлежит множеству B или принадлежит множеству A и не принадлежит множеству C, то есть этот элемент принадлежит множеству A и не принадлежит объединению множеств B и C. Значит, он не принадлежит и пересечению множеств B и C. Тем самым доказано, что элемент x принадлежит множеству X₁=A\(B∩C), или множество X₂ является подмножеством множества X₁.

В силу того, что множества X₁ и X₂ по доказанному являются подмножествами друг друга, они совпадают. А это и требовалось доказать.

Я помог Вам, чем мог. Кто может, пусть сделает это лучше.