Условие: Основание параллелепипеда ABCDA
1B
1C
1D
1 - квадрат ABCD. AB = AA
1 = 5, [$8736$]A
1AB = [$8736$]A
1AD = 60°.
Вычислить длину диагонали BD
1 .
Решение: Чертим кособокий параллелепипед. Хитрость задачи в том, что базовое ребро AA
1 имеет наклон в 2 направления OX и OY . И поэтому кажущаяся простота вычисления высоты фигуры как двукратное произведение длины ребра AA
1 на sin([$945$]) - ошибочна!
Однако, посмотрим на параллелепипед с боку, точно противоположного оси OY, и станем мысленно покачивать грань AA
1D
1D то в вертикальное положение, то наклонять на заданный угол [$945$] в сторону оси OY. Мы заметим, что проекция ребра AA
1 на ось OX стабильна, НЕ меняется от угла наклона. Воспользуемся этой истиной для получения абсциссы вершины A
1 :
A
1x = A
1·cos([$945$]) = 5·(1/2) = 5/2 .
Проделаем то же самое, глядя на параллелепипед с боку, точно противоположного оси OX, и получим ординату вершины A
1 :
A
1y = A
1·cos([$945$]) = 5·(1/2) = 5/2 .
Зная 2 координаты вершины A
1 и длину ребра AA
1, вычисляем аппликату вершины A
1.
Маткад-скриншот с чертежом и вычислениями прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
Ответ: Длина диагонали BD
1 равна 5·[$8730$]3 [$8776$] 8,66 ед.
Интересно отметить, что если бы все грани параллелепипеда были квадратами, то диагональ BD
1 имела бы точно такую же длину!
Наклон ребра AA
1 в одну сторону OX увеличивает длину диагонали BD
1, а второй наклон в сторону OY - уменьшает её.