Консультация онлайн # 202486

Раздел: Математика
Автор вопроса: m_lisssaaa (Посетитель)
Дата: 28.03.2022, 13:05 Консультация неактивна
Поступило ответов: 1
Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:

Основание параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 – квадрат ABCD. Известно, что AB=AA1=5, угол A1AB=угол A1AD=60*. Найдите длину диагонали BD1.
Условие: Основание параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 - квадрат ABCD. AB = AA1 = 5, ∠A1AB = ∠A1AD = 60°.
Вычислить длину диагонали BD1 .

Решение: Чертим кособокий параллелепипед. Хитрость задачи в том, что базовое ребро AA1 имеет наклон в 2 направления OX и OY . И поэтому кажущаяся простота вычисления высоты фигуры как двукратное произведение длины ребра AA1 на sin(α) - ошибочна!

Однако, посмотрим на параллелепипед с боку, точно противоположного оси OY, и станем мысленно покачивать грань AA1D1D то в вертикальное положение, то наклонять на заданный угол α в сторону оси OY. Мы заметим, что проекция ребра AA1 на ось OX стабильна, НЕ меняется от угла наклона. Воспользуемся этой истиной для получения абсциссы вершины A1 :
A1x = A1·cos(α) = 5·(1/2) = 5/2 .

Проделаем то же самое, глядя на параллелепипед с боку, точно противоположного оси OX, и получим ординату вершины A1 :
A1y = A1·cos(α) = 5·(1/2) = 5/2 .

Зная 2 координаты вершины A1 и длину ребра AA1, вычисляем аппликату вершины A1.
Маткад-скриншот с чертежом и вычислениями прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.

Ответ: Длина диагонали BD1 равна 5·√3 ≈ 8,66 ед.

Интересно отметить, что если бы все грани параллелепипеда были квадратами, то диагональ BD1 имела бы точно такую же длину!
Наклон ребра AA1 в одну сторону OX увеличивает длину диагонали BD1, а второй наклон в сторону OY - уменьшает её.

Последнее редактирование 06.04.2022, 14:44 Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)


Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
02.04.2022, 05:46
5
Спасибо большое за помощь!!!

Мини-форум консультации # 202486

m_lisssaaa

Посетитель

ID: 405904

325251

= общий =    31.03.2022, 17:23
Очень прошу у Вас помощи! smile
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

325269

= общий =    01.04.2022, 15:36
У нас уже поздний вечер по Владивостоку. Я постараюсь помочь Вам ч-з 15…20 часов.
m_lisssaaa

Посетитель

ID: 405904

325272

= общий =    02.04.2022, 07:41
Можно спросить, а почему аппликата точки A1 не 5*корень(3)/2? Не могу понять...
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

325277

= общий =    02.04.2022, 09:29
Вы писали "Можно спросить…?" - спросить всегда можно, а когда что-то не понятно в Ответе, то ещё и нужно! Наши предки шутили: "За спрос не бьют в нос".

"почему аппликата точки A1 не 5·корень(3)/2?" - а почему аппликата должна быть именно 5·√(3) / 2 , а не 6·√(2) / 3 ? Если Вы имеете конкретное мнение-предложение, надо стараться мотивировать его в своём Вопросе. Вам ведь гораздо легче пояснить мысль, кот-ю Вы подразумеваете, чем мне угадывать Ваши идеи за тысячи км от Вас, верно?

Я могу лишь догадываться, будто Вы получили A1z = 5·√(3) / 2 умножением длины грани AA1 на sin(60°). Однако, ошибочность Вашего предположения легко проверить вычислением длины грани AA1 по классической формуле
AA1 = √[(AA1x)2 + (AA1y)2 + (AA1z)2]
Использованная Вами формула A1z = 5·√(3) / 2 была бы справедливой для ребра, имеющего наклон только в ОДНУ сторону!
Вы попались на удочку, описанную в Ответе как "Хитрость задачи". Честно признаюсь, что я тоже попался на эту удочку в первой попытке Решения. Но я сделал провер по выше-классич-формуле и стал искать более стабильные точки опоры.

Кликните пиктограмму БелыйПлюс в правой части ниже-заголовка "Пост в мини-форум". Сервер откроет Вам ДопПанель форматирования, с которой Вы можете выбирать символы Радикал, Интеграл, Верхний/Нижний индекс и прочие полезные для Вас BBCode, см "Правила портала \ Использование BBCode" rfpro.ru/help/services#510 Ссылка . Потренируйтесь прямо сейчас, наЛяпайте какие-нибудь пробные символы, затем ниже нажмите кнопу ПредПросмотр вместо Отправить, чтоб увидеть результат Ваших опытов. =Успехов в познании! smile
m_lisssaaa

Посетитель

ID: 405904

325278

= общий =    02.04.2022, 09:52
Вот в чём дело, теперь точно поняла! Спасибо большое!!! smile
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

325279

= общий =    02.04.2022, 12:31
НаЗдоровье Вам, m_lisssaaa ! Заходите, когда будет нужно. smile
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

325370

= общий =    06.04.2022, 14:37
Вы спрашивали, почему нельзя использовать привычную формулу типа A1z = A1·√3 / 2 для вычисления аппликаты вершины A1 ? - потому что √3 / 2 - это значение, соответствующее синусу 60°, то есть sin(α) .
Формула A1z = A1·sin(β) позволяет вычислить длину катета в треугольнике с длиной гипотенузы A1 и углом β , лежащим напротив искомого катета. Но в нашей задаче углы α и β - это разные углы! Достаточно не полениться опустить перпендикуляр A1E из вершины A1 на плоскость XOY , и всё хорошо видно! Угол β = 45°. Я добавил перпендикуляр и Проверку в скриншот Ответа. Надеюсь, Вам будет всё понятно.
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.