Консультация онлайн # 202455

Раздел: Математика
Автор вопроса: lalka (1-й класс)
Дата: 26.03.2022, 13:17 Консультация неактивна
Поступило ответов: 1
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, помогите решить две задачи с объяснениями:
1) В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с острым углом бета. Все боковые ребра пирамиды равны L и образуют с ее высотой угол альфа. Найдите объем пирамиды.
2) В основании пирамиды лежит правильный треугольник с радиусом вписанной окружности r. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания. Некоторая точка высоты пирамиды равноудалена от ее вершины и стороны основания, принадлежащей третьей боковой грани. С данной точки до середины этой стороны произведен отрезок, образующий с плоскостью основания угол ?. Определить объем пирамиды.
Решаем задачу N1. Её Условие: Все боковые ребра пирамиды равны L и образуют с её высотой угол α .
В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с острым углом β .
Вычислить объём пирамиды.

Решение : Чертим пирамиду, у которой в основании лежит прямоугольный треугольник OAC . Пытаемся сообразить, над какой точкой основания должна находиться вершина пирамиды E, чтобы выполнилось условие "Все боковые ребра пирамиды равны L и образуют с её высотой" одинаковый угол α ? На ум приходить т-ко 1 вариант: Вершина должна находиться над центром достроенного квадрата! Ибо если в основании пирамиды будет НЕквадратный прямоугольник, то НЕ ВСЕ боковые ребра пирамиды будут равны.
Достраиваем данный нам треугольник OAC основания с прямым углом ∠AOC = 90° до квадрата OABC .
Диагонали OB и AC квадрата пересекаются в его центре - точке D . Из этой точки возводим высоту DE пирамиды.
Все боковые рёбра OE = AE = CE = BE = L равны и образуют с высотой DE угол α .
Мы получили полную картину и поняли, что острый угол β = 45°, потому что ΔOAC есть не только прямоугольный, но ещё и равнобедренный (OA = OC как у квадрата). Достроенная полу-пирамида над основанием ΔABC нам больше НЕ нужна.

Вспоминаем школьные формулы : Объём пирамиды V = Sосн·h / 3 , где Sосн - площадь основания пирамиды, h - её высота.
h = DE = CE·cos(α) = L·cos(α)
DC = CE·sin(α) = L·sin(α)
Площадь прямоугольного треугольника ODC равна SODC = (1/2)·OD·DC = DC2 / 2 = L2·sin2(α) / 2 - тут равные катеты OD = DC .
Площадь прямоугольного треугольника OAC равна Sосн = SODC + SODA = 2·SODC = L2·sin2(α) , потому что = ΔODA = ΔODC .
Искомый объём пирамиды V = Sосн·h / 3 = [L2·sin2(α)]·[L·cos(α)] / 3 = L3·sin2(α)·cos(α) / 3 .
Ответ : Объём пирамиды равен L3·cos(α)·[1 - cos2(α)] / 3 .

Проверка: Для упрощённой проверки зададим L = 1, α = 60°.
Тогда cos(α) = 1/2, а Объём пирамиды V = 13·(1/2)·(1 - 1/4) / 3 = (1/2)·(3/4) / 3 = 1/8 , что очень правдо-подобно для низенькой частички прямоугольной призмы высотой h = L·cos(α) = 1/2 и нижней стороной AC = 2·DC = 2·L·sin(α) = 2·1·√3 / 2 = √3 ≈ 1,73 .

Моё время истекло. Возможно другой эксперт решит Вам Вашу вторую задачу? Однако, следуя рекомендациям Правил Портала rfpro.ru , разумнее и надёжнее создавать для каждой задачи Отдельную консультацию. =Удачи Вам!

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
27.03.2022, 05:40
Нет оценки ответа

Мини-форум консультации # 202455


Нет сообщений в мини-форуме
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.