Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 202455
26.03.2022, 13:17
0.00 руб.
0 1 1
Образование
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, помогите решить две задачи с объяснениями:
1) В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с острым углом бета. Все боковые ребра пирамиды равны L и образуют с ее высотой угол альфа. Найдите объем пирамиды.
2) В основании пирамиды лежит правильный треугольник с радиусом вписанной окружности r. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания. Некоторая точка высоты пирамиды равноудалена от ее вершины и стороны основания, принадлежащей третьей боковой грани. С данной точки до середины этой стороны произведен отрезок, образующий с плоскостью основания угол ?. Определить объем пирамиды.

Обсуждение

давно
Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт
259041
7459
27.03.2022, 05:40
общий
это ответ
Решаем задачу N1. Её Условие: Все боковые ребра пирамиды равны L и образуют с её высотой угол [$945$] .
В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с острым углом [$946$] .
Вычислить объём пирамиды.

Решение : Чертим пирамиду, у которой в основании лежит прямоугольный треугольник OAC . Пытаемся сообразить, над какой точкой основания должна находиться вершина пирамиды E, чтобы выполнилось условие "Все боковые ребра пирамиды равны L и образуют с её высотой" одинаковый угол [$945$] ? На ум приходить т-ко 1 вариант: Вершина должна находиться над центром достроенного квадрата! Ибо если в основании пирамиды будет НЕквадратный прямоугольник, то НЕ ВСЕ боковые ребра пирамиды будут равны.
Достраиваем данный нам треугольник OAC основания с прямым углом [$8736$]AOC = 90° до квадрата OABC .
Диагонали OB и AC квадрата пересекаются в его центре - точке D . Из этой точки возводим высоту DE пирамиды.
Все боковые рёбра OE = AE = CE = BE = L равны и образуют с высотой DE угол [$945$] .
Мы получили полную картину и поняли, что острый угол [$946$] = 45°, потому что [$916$]OAC есть не только прямоугольный, но ещё и равнобедренный (OA = OC как у квадрата). Достроенная полу-пирамида над основанием [$916$]ABC нам больше НЕ нужна.

Вспоминаем школьные формулы : Объём пирамиды V = Sосн·h / 3 , где Sосн - площадь основания пирамиды, h - её высота.
h = DE = CE·cos([$945$]) = L·cos([$945$])
DC = CE·sin([$945$]) = L·sin([$945$])
Площадь прямоугольного треугольника ODC равна SODC = (1/2)·OD·DC = DC2 / 2 = L2·sin2([$945$]) / 2 - тут равные катеты OD = DC .
Площадь прямоугольного треугольника OAC равна Sосн = SODC + SODA = 2·SODC = L2·sin2([$945$]) , потому что = [$916$]ODA = [$916$]ODC .
Искомый объём пирамиды V = Sосн·h / 3 = [L2·sin2([$945$])]·[L·cos([$945$])] / 3 = L3·sin2([$945$])·cos([$945$]) / 3 .
Ответ : Объём пирамиды равен L3·cos([$945$])·[1 - cos2([$945$])] / 3 .

Проверка: Для упрощённой проверки зададим L = 1, [$945$] = 60°.
Тогда cos([$945$]) = 1/2, а Объём пирамиды V = 13·(1/2)·(1 - 1/4) / 3 = (1/2)·(3/4) / 3 = 1/8 , что очень правдо-подобно для низенькой частички прямоугольной призмы высотой h = L·cos([$945$]) = 1/2 и нижней стороной AC = 2·DC = 2·L·sin([$945$]) = 2·1·[$8730$]3 / 2 = [$8730$]3 [$8776$] 1,73 .

Моё время истекло. Возможно другой эксперт решит Вам Вашу вторую задачу? Однако, следуя рекомендациям Правил Портала rfpro.ru , разумнее и надёжнее создавать для каждой задачи Отдельную консультацию. =Удачи Вам!
Форма ответа