Консультация онлайн # 202262

Раздел: Математика
Автор вопроса: Ника Соловьева (Посетитель)
Дата: 08.03.2022, 16:53 Консультация неактивна
Поступило ответов: 2
Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:


Дано комплексное число a. Требуется:
1)записать числа a и (-a) в алгебраической, тригонометрической и показательной форме;
2)найти все корни уравнения z^3+a=0 и изобразить их на комплексной плоскости.



Условие: Дано комплексное число a = 4 / (1 - i·√3).
Требуется записать числа a и (-a) в алгебраической, тригонометрической и показательной форме;
Вычислить все корни уравнения z3 + a = 0 и изобразить их на комплексной плоскости.

Решение: Вы писали "нам плохо эту тему объяснили", я тоже давно забыл школьную математику. Поэтому читаем вместе замечательную учебную статью "Комплексные числа для чайников" Ссылка1.

В примере5 статьи подробно описано решение Вашего первого пункта. Умножаем знаменатель и числитель на сопряжённое знаменателю выражение (1 + i·√3) .
Вспоминаем простую школьную формулу (a - b)·(a + b) = a2 - b2 а также свойство i2 = -1 :
a = 4 / (1 - i·√3) = [4·(1 + i·√3)] / [(1 - i·√3)·(1 + i·√3)] = [4·(1 + i·√3)] / [12 - (i·√3)2] = 4·(1 + i·√3)] / [1 - i2·3] = 4·(1 + i·√3)] / (1 + 3) = 1 + i·√3 - мы получили число "a" в простейшей алгебраической форме.

Модуль этого числа M = √[12 + (√3)2] = √(1+3) = 2 , Мнимая часть im = √3 , действительная часть Re = 1 .
Аргумент комплекса - это угол φ = arctg(im / Re) = arctg(√3 / 1) = π / 3 рад = 60° .
Число "a" в тригонометрической форме : M·[cos(φ) + i·sin(φ)] = 2·[cos(π/3) + i·sin(π/3)]
Число "a" в показательной форме : M·ei·φ = 2·ei·π/3

Для числа -a , обозначим его A = -a , всё аналогично: алгебраическая форма A = -a = -(1 + i·√3) = -1 - i·√3 ,
Мнимая часть im = -√3 , действительная часть Re = -1 .
Модуль этого числа M = √[(-1)2 + (-√3)2] = √(1+3) = 2 ,
Число A находится в 3й координатной четверти, и его аргумент нужно вычислять по формуле с поправкой:
φ = arctg(im / Re) - π = arctg[(-√3) / (-1)] - π = arctg(√3) - π = π / 3 - π = -2·π/3 рад = -120° .

Число "A" в тригонометрической форме : M·[cos(φ) + i·sin(φ)] = 2·[cos(-2·π/3) + i·sin(-2·π/3)]
Число "A" в показательной форме : M·ei·φ = 2·ei·(-2·π/3)

Вычислим все корни уравнения z3 + a = 0 - перемещаем "a" в правую часть уравнения:
z3 = -a = -1 - i·√3 . Этот случай также описан в выше-указанной статье в абзаце "Как извлечь Корень из произвольного комплексного числа?" . Аннотирую:
Уравнение вида zn = w имеет ровно n корней : z0 ; z1 ; z2 ; … кот-е можно найти по формуле:
zk = n√(M)·{cos[φ + 2·π·k) / n] + i·sin[φ + 2·π·k) / n]} , где M = |w| - это модуль комплексного числа w , φ - его аргумент, а параметр k принимает значения : k = {0 ; 1 ; 2 ; … ; n-1} .


В нашем случае n = 3 означает наличие 3х корней уравнения.
-a = -1 - i·√3 равно числу "A", для кот-го выше уже вычислены значения M = 2 и φ = -2·π/3 рад .
Все 3 корня имеют одинаковый модуль Zm = 3√(M) = 3√(2) ≈ 1,26
Тогда искомые корни:
z0 = Zm·[cos[φ + 2·π·0) / 3] + i·sin[φ + 2·π·0) / 3]} = 1,26·[cos(-2·π / 9) + i·sin(-2·π / 9)] ≈ 0,965 - i·0,81
z1 = Zm·[cos[φ + 2·π·1) / 3] + i·sin[φ + 2·π·1) / 3]} = 1,26·[cos(4·π / 9) + i·sin(4·π / 9)] ≈ 0,219 + i·1,241
z2 = Zm·[cos[φ + 2·π·2) / 3] + i·sin[φ + 2·π·2) / 3]} = 1,26·[cos(10·π / 9) + i·sin(10·π / 9)] ≈ -1,184 - i·0,431

Изображение корней на Комплексной плоскости я выполнил в популярном приложении Маткад (ссылка2) . Маткад избавляет меня от ошибок. Маткад-скриншот с чертежом прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
Надеюсь, теперь Вам будет всё понятно. =Удачи!

Последнее редактирование 09.03.2022, 17:06 Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)


Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
09.03.2022, 17:03
5
Спасибо большое, теперь все поняла.

Ответ # 2, Megaloman (Мастер-Эксперт)

1.






Формула Эйлера (связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями)






2.




Очевидно, что для k=3,4,5 ... вследствие периодичности функций Cos и Sin можно исключить период 2п, и, следовательно,
уравнение имеет 3 корня.





Последнее редактирование 09.03.2022, 19:02 Megaloman (Мастер-Эксперт)


Megaloman

Мастер-Эксперт
09.03.2022, 18:46
5
Спасибо большое.

Мини-форум консультации # 202262

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

324682

= общий =    09.03.2022, 03:24
Сначала надо избавиться от комплекса в знаменателе, и умножить числитель и знаменатель на сопряжённое число 1 + i·√3 .
Получим число "a" в алгебраической форме : a = 1 + i·√3
Модуль этого числа M = √(12 + (√3)2) = √(1+3) = 2 , Мнимая часть im = √3 .
Угол φ = arcsin(im / M) = arcsin(√3 / 2) = π / 3 рад = 60° .
Число "a" в тригонометрической форме : M·[cos(φ) + i·sin(φ)] = 2·[cos(π/3) + i·sin(π/3)]
Число "a" в показательной форме : M·ei·φ = 2·ei·π/3

Ваше Уравнение имеет 3 корня: z1 = 0,219 + i·1,241  ,  z2 = 0,965 - i·0,81  ,  z3 = -1,184 - i·0,431 .
Дальше сами справитесь?
Ника Соловьева

Посетитель

ID: 405604

324683

= общий =    09.03.2022, 06:59
Здравствуйте, если можно, покажите решение дальше, а то нам плохо эту тему объяснили, а разобраться и понять хочется. Мне решение не к спеху, так что буду признательна.
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

324684

= общий =    09.03.2022, 07:15
Здравствуйте, Ника! Я ответил на Ваше приветствие, но на Портале принято не засорять посты приветствиями.
На Ваше "покажите решение дальше" мне придётся сверстать подробный Ответ с графиком. Сейчас мне нЕкогда, я планирую сделать это ч-з ~ 12 часов, если другие эксперты не отправят Вам Ответ раньше.

На Портале 4 участника имеют ник "Ника", 2 из них ленятся поблагодарить за помощь, и я вписал их в ЧёрныйСписок, чтоб игнорировать их Вопросы в будущем. Будет хорошо, если Вы заполните свою Регистрационную карту и измените свой ник на уникальный во избежание путаницы.
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.