Признаки хороших (качественных) задач - наличие всех необходимых данных для Решения, отсутствие мусора, и хоть какая-нибудь практическая польза от решения (чтоб навык решения пригодился позже в жизни).
В Вашей задаче ключ К - это мусор. Его можно сразу выбросить заменой ключа на эл-схеме перемычкой. Потому что согласно Условию этот ключ замкнули и поехали дальше (искать приключений).

А дальше изменение расстояния м-ду пластинами конденсатора изменяет его ёмкость C = q / U .
При неизменном U = E от изменения C мы получаем изменение зарядов q(t) = U*C(t) = E*C(t) .
А перетекание зарядов по контуру цепи - есть переменный ток, который греет (теоретически) резистор R , на котором и выделяется искомая тепловая мощность.

Однако, в Условии недостаточно данных : для вычисления мощности надо знать либо среднюю ёмкость C₀ конденсатора, либо площадь его пластин а также среднюю d₀ .

Механическое изменение расстояния м-ду пластинами означает, что ёмкость данного конденсатора мизерна: менее 200 пФ, а частота вибрации пластины также ограничена ультра-звуком. При таком сочетании ограничений можно получить лишь такую микро-мощность, что от этих нано-Ватт нет никакой практической пользы. Кто сочинил для Вас эту горе-задачу? Наверное контора Сириус?

ЭТО Физтех 1991 (я считаю у них качественные задачи)
ответ должен быть (ЕА)^2/(2R)
в другом варианте по такому закону меняется С и получается ответ. А в этом до чего-то пока не додумался

Вы писали "Физтех 1991 … я считаю у них качественные задачи" - я согласен с Вами. Но с другой стороны, за более чем 40 лет практики я множество раз убеждался в пропорциональной зависимости ёмкости конденсатора и величиной переменного тока ч-з него. Независимость тока от ёмкости в Вашей задаче непривычно шокирует меня. Попробую порешать…

А Вы пожалуйста покажите Условие того другого варианта точно-дословно, где ответ (ЕА)^2/R . Может, тот вариант отличается от Вашего, но Вы сочли это отличие НЕсущественным?

В учебной статье "Электроёмкость. Конденсаторы" (Ссылка1) находим формулу ёмкости плоского конденсатора:
C = [$949$]₀·S / d . В большинстве задач с RC-цепями ёмкость неизменна, меняются напряжение на конденсаторе и соответственно заряд q / C·U на его обкладках. Связь этих изменений хорошо описана в статье "Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод анализа"

Все расчёты переходных процессов в RC-цепях основаны на 2м законе коммутации "Напряжение на конденсаторе не может изменяться мгновенно". Этот закон - отправная точка для "нормальных" задач с неизменной ёмкостью. В Вашей НЕтипичной задаче (шиворот-навыворот) получается наоборот: Ёмкость конденсатора менятся изза изменения расстояния между пластинами, и изза этого напряжение м-ду обкладками конденсатора изменяется сразу в начале переходного процесса. Именно это НЕтипичное напряжение "толкает" ток ч-з R. Другого источника у нас тут нет, тк Источник ЭДС E отработал сразу после замыкания ключа К , и в стационарном режиме конденсатор больше не пропускает постоянный ток.

Расшифруем доп-Условие 2·[$960$] / [$969$] << [$964$] : в нём 2·[$960$] / [$969$] = T - это период колебаний, а [$964$] = R·C - постоянная времени RC-цепи.
И тогда условие T << [$964$] надо толковать так, что в задаче надо рассматривать столь большие значения используемых R·C , которые соответствуют самому началу переходного процесса, и что этот процесс не доходит даже до середины, и начинается новый полу-период колебания. То есть : Конденсатор НЕ успевает сколь-нибудь заметно изменить свой заряд в течение полу-периода колебания.
Считаем: Ёмкость плоского конденсатора в воздухе C = [$949$]₀·S / d , где S - площадь каждой пластины, d - расстояние м-ду ними,
[$949$]₀ = 8,854·10^-12 Ф/м - электрическая постоянная.
Средний за период заряд конденсатора равен q₀ = C·U = [$949$]₀·S·E / d - это заряд в некоторый момент времени t = 0 , но в стационарном режиме, то есть когда закон расстояния
d(t) = d₀·[1 + A·sin([$969$]·t)] находится в нулевой синус-фазе sin(0) = 0 .

МиниЗаряд конденсатора q_m = [$949$]₀·S·E / {d₀·[1 + A·sin([$969$]·t)]] = [$949$]₀·S·E / [d₀·(1 + A)] в момент t = T/4 , в макси-синус-фазе sin(T/4) = 1 .
Разность зарядов [$916$]q = q₀ - q_m = [$949$]₀·S·E / d - [$949$]₀·S·E / [d₀·(1 + A)] = ([$949$]₀·S·E / d)·[(1 + A) - 1] = [$949$]₀·S·E·A / d = C·E·A
Амплитуда переменного напряжения на обкладках конденсатора U_m = [$916$]q / C = C·E·A / C = E·A

Поскольку задано "Внутренним сопротивлением батареи пренебречь", а ключ K работает как перемычка в стационарном режиме, значит, всё это переменное напряжение приложено к резистору R .
Форма этого напряжения почти синусоидальна при А << 1 , но синусоида заметно искажается при A > 0,01.
Синусоидальное напряжение с амплитудой U_m выделяет в резисторе R мощность
P = U_m² / (2·R) = (E·A)² / (2·R) . Получилось почти как в желаемом Вами Ответе. Только Вы потеряли множитель 2 в знаменателе. Удивляет НЕзависимость результата от абсолютного значения ёмкости конденсатора (в тч его габаритов), и при этом сильная (квадратичная!) зависимость от относительного изменения "A" ёмкости в течение одного колебания.

О том, что значение достаточно большой ёмкости конденсатора не влияет на работу электро-схемы знают все инж-электроники и радио-любители: Яркий пример : Переходный конденсатор м-ду каскадами усилителя звуковой частоты. Можно увеличить эту ёмкость например в 10 раз, и от этого увеличится 10-кратно лишь милли-секундная длительность переходного процесса - будет чуть громче щелчок в момент включения усилителя.

Фокус Вашей задачи состоит в наличии 2х переходных процессов. Первый процесс происходит сразу после замыкания ключа и быстро заканчивается. Второй процесс начинается в результате изменения расстояния между пластинами конденсатора, и этот процесс - нескочаемый, потому что по Условию T << [$964$] .

Я был столь удивлён неожиданным результатом, что сделал проверку в популярном приложении Маткад (ссылка3), где я задал максимально-реальные значения для получения макси-заметной мощности. Маткад выдал большую погрешность нестыковки с выше-полученной теоретической формулой получения амплитуды напряжения при A > 0,01 изза искажения синусоиды и смещения её постоянной составляющей
Um = (q₀ - q_m) / C₀ . Уменьшить погрешность на порядок удалось вычислением амплитуды как половины размаха переменного напряжения:
Um = (q_m - q_i) / (2·C₀) . Маткад-скриншот с эл-схемой прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.

Спасибо за решение и подробное объяснение
но непонятно как получился ответ 0·S·E·A / d в этом преобразовании: Разность зарядов q = q0 - qm = 0·S·E / d - 0·S·E / [d0·(1 + A)] = (0·S·E / d)·[(1 + A) - 1] = 0·S·E·A / d = C·E·A
у меня 0·S·E·A / [d0(1+A)]

Вот условие и решение задачи из другого варианта, в котором емкость меняется по закону C(t) = С0(1+Asin t)

Вы спрашивали "как получился ответ [$949$]₀·S·E·A / d в этом преобразовании … у меня [$949$]₀·S·E·A / [d₀·(1+A)]" - я старался объяснять подробно, но в данной операции я забыл пояснить замену, прошу прощения.
C = [$949$]₀·S / d - это формула ёмкости плоского конденсатора для изделия с расстоянием d м-ду пластинами. Из неё вытекает формула ёмкости конденсатора Cm для изделия с расстоянием d₀·(1+A) м-ду пластинами:
Cm = [$949$]₀·S / [d₀·(1+A)]

Тогда Ваше [$949$]₀·S·E·A / [d0(1+A)] = Cm·E·A , это - Разность зарядов [$916$]q = q0 - qm .
Амплитуда переменного напряжения на обкладках конденсатора Um = [$916$]q / C = Cm·E·A / C [$8776$] E·A , потому что Cm [$8776$] C при малых A < 0,01 .
При больших значениях 0,01 < A < 1 форма результирующего переменного напряжения уже НЕ есть чисто синусоидальная, потому что синус задан в знаменателе Вашего варианта. Отсюда следует погрешность, увеличивающ-ся при возрастании A-значения.

Спасибо Вам за "условие и решение задачи из другого варианта". Там синус задан в числителе, и поэтому синусоида НЕ переворачивается и не искажается, как в Вашем, более трудном варианте.

Если Вы - такой же зануда, каким был я сразу после института, и предпочитаете точность простоте, тогда можете, используя опыт Маткад-сверки, уменьшить влияние погрешности изза смещения постоянной составляющей при больших A-значениях.
Получим амплитуду переменного напряжения не как отклонение от постоянки, а как полу-размах амплитуд крайних значений:
[$916$]Q = [$949$]₀·S·E / [d₀·(1-A)] - [$949$]₀·S·E / [d₀·(1+A)] = [$949$]₀·S·E·[(1+A) - (1-A)] / [d₀·(1+A)·(1-A)] = 2·C_ср·E·A ,
Um = [$916$]Q / (2·C) [$8776$] E·A
где C_ср = [$949$]₀·S / [d₀·(1-A²)] [$8776$] [$949$]₀·S / d₀ = C₀ с гораздо мЕньшей погрешностью, чем Cm [$8776$] C₀ , тк 1 - A² [$8776$] 1 при A < 0,1 .

Если же Вы попытаетесь полностью отбросить упрощения, то получите вместо простого ответа
P = (E·A)² / (2·R) очень громоздкую формулу, в которой повышается риск запутаться и получить ошибку.
Уважаемые преподаватели таганрогского радио-института много-кратно советовали нам, студентам: Тренируйте своё умение упрощать формулы/вычисления до приемлемой точности, которая на производстве бывает обычно 20 %. Тогда Вы сможете выполнять свою работу высоко-производительно и с мЕньшим числом ошибок. И я всю трудовую жизнь благодарил в душе своих наставников.

Огромное спасибо
Вроде бы разобрался

Я рад Вашему Успеху! Благодарю Вас за интересную и необычную задачу!