Лидеры

ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт


ID: 401284

Михаил Александров

Советник


ID: 226425

Konstantin Shvetski

Модератор


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт


ID: 401888

puporev

Профессор


ID: 400669

epimkin

Профессионал


ID: 405239

al4293189

4-й класс


8.13.11

14.01.2022

JS: 2.13.37
CSS: 4.8.5
jQuery: 3.6.0
DataForLocalStorage: 2022-01-17 19:27:11-standard


Консультация онлайн # 201849

Раздел: Математика
Автор вопроса: terra7605 (Посетитель)
Дата: 07.12.2021, 15:15 Консультация закрыта
Поступило ответов: 1
Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
В цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед, большая сторона основания которого равна а. Диагональ параллелепипеда составляет с его большей боковой гранью угол ? а с плоскостью основания угол ?. Найти площадь боковой поверхности цилиндра.
Условие: БОльшая сторона основания вписанного прямоугольного параллелепипеда = "а",
Диагональ параллелепипеда составляет с его бОльшей боковой гранью угол β , а с плоскостью основания угол α .
Вычислить площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение: Сложные геометрические задачи надо решать с чертежом (прилагаю его ниже). Обозначим нижнее основание параллелепипеда буквами ABCD, а верхнее основание - A'B'C'D'. БОльшее ребро основания равно AD = a по Условию. Тогда BD = d - диаметр описывающего цилиндра высотой h .
В треугольнике BB'D замечаем связь: BD / B'D = cos(α) . Значит Диагональ параллелепипеда B'D = d / cos(α)

Самое трудное: "Диагональ параллелепипеда составляет с его бОльшей боковой гранью угол β" - смотрим на плоскость бОльшей боковой грани AA'D'D . Плоскость треугольника A'B'D перпендикулярна плоскости AA'D'D. Значит, диагональ A'D есть проекция диагонали B'D на плоскость грани AA'D'D. Тогда угол м-ду диагональю параллелепипеда B'D и боковой гранью AA'D'D будет угол м-ду диагональю B'D и её проекцией A'D на грань. То есть:
sin(β) = A'B' / B'D , откуда следует A'B' = B'D·sin(β) ⇒ A'B'2 = B'D2·sin2(β)
По теореме Пифагора A'B'2 = AB2 = BD2 - AD2 = d2 - a2
Отсюда : d2 - a2 = B'D2·sin2(β) . Вспоминаем, что B'D = d / cos(α) , значит:
d2 - a2 = d2·sin2(β) / cos2(α)

Чтоб решить полученное уравнение с одним неизвестным d , перемещаем члены с "d" в левую часть уравнения:
d2 - d2·sin2(β) / cos2(α) = a2
d2·[1 - sin2(β) / cos2(α)] = a2
d = a / √[1 - sin2(β) / cos2(α)] = a·cos(α) / √[cos2(α) - sin2(β)]

Для вычисления искомой площади боковой поверхности цилиндра по известной формуле S = π·d·h нам осталось вычислить h-высоту цилиндра. Подмечаем, что
BB' / BD = tg(α) , значит h = BB' = BD·tg(α) = d·tg(α) = a·cos(α)·tg(α) / √[cos2(α) - sin2(β)] = a·sin(α) / √[cos2(α) - sin2(β)]

S = π·d·h = π·{a·cos(α) / √[cos2(α) - sin2(β)]}·{a·sin(α) / √[cos2(α) - sin2(β)]} = π·a2·sin(α)·cos(α) / [cos2(α) - sin2(β)]2
Для оптимизации результата вспомним тригонометрические упрощения: 2·sin(α)·cos(α) = sin(2·α) ,
2·cos2(α) = 1+cos(2·α) , 2·sin2(β) = 1-cos(2·β) .
Ответ: Площадь боковой поверхности цилиндра равна π·a2·sin(2·α) / [cos(2·α) + cos(2·β)]

Для проверки расположим наш параллелепипед на прямоугольную систему координат так, чтобы его нижняя вершина A совместилась с началом координат. Тогда плоскость xAy с нижней гранью ABCD основания имеет уравнение z = 0 , а её вектор нормали nz{0; 0; 1}.
БОльшая боковая грань AA'D'D находится на плоскости xAz с уравнением y = 0 и нормаль-вектором ny{0; 1; 0}.

Читаем пункт "Как найти угол м-ду прямой и плоскостью?" в учебной статье "Взаимное расположени прямой и плоскости. Основные задачи на прямую и плоскость" Ссылка1
Используем формулу синуса угла м-ду прямой и плоскостью:
sin(φ) = |n·p| / (|n|·|p|) , где n - нормаль-вектор плоскости, |n| - его модуль, p - направляющий вектор прямой, |p| - его модуль.

Я сделал вычисления в популярном приложении Маткад (ссылка2) . Маткад-скриншот с чертежом прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
Оба метода решения (Школьно-классический и Аналитической геометрии) возвратили одинаковые результаты. Значит, проверка успешна.
Примечание: в этой задаче существуют жёсткие ограничения на область допустимых значений углов. Можно задавать только такие пары углов, при которых выражения под радикалами знаменателя положительны. Успешно опробовани пары (α=π/6, β=π/6), (α=π/4, β=π/6), (α=π/6, β=π/4), (α=π/3, β=π/12) .
Я старался начертить и объяснить всё подробно и доходчиво. Если что-то осталось непонятным, задавайте вопросы в миниформуме. =Удачи!

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт
11.12.2021, 14:57
5

Мини-форум консультации # 201849

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323155

= общий =    09.12.2021, 03:20
Разве Вы не видите, что устаревшая программа сервера rfpro.ru исказила Ваши греческие буквы? Как понимать Ваше равнодушное бездействие?
Если задача не нужна Вам, тогда надо культурно сообщить об этом, чтоб эксперты не тратили на неё время и внимание.

А если нужна, тогда для ввода греческих букв, радикалов, интегралов показателей степени, нижних индексов… используйте BBCode rfpro.ru/help/services#510 Ссылка . Для этого в ниже-абзаце "Сообщение в мини-форум" кликните большую белую плюс-пиктограмму на зелёном фоне. Сервер откроет Вам ДопПанель спец-символов. При наведении на любой из них мышь-курсора всплывает подсказка. Потренируйтесь, введите какую-нибудь пробную бессмыслицу, но жмите не "Отправить", а "Предпросмотр". Тогда сервер покажет Вам 2 панели : Отображаемый результат и снова поле с кодами.

Нажимать Предпросмотр можно многократно. Когда Ваш Отображаемый результат понравится Вам, жмите "Отправить" для публикации.

Если Вы - пожилая мадам, очень далёкая от компьютерных приёмов работы, то Вы можете написать названия греческих букв рус-буквами: альфа, бэта, фи…
terra7605

Посетитель

ID: 405608

323173

= общий =    09.12.2021, 16:55
В цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед, большее ребро его основания которого равна а. Диагональ параллелепипеда составляет с его большей боковой гранью угол бета, а с плоскостью основания угол альфа. Найти площадь боковой поверхности цилиндра.
terra7605

Посетитель

ID: 405608

323174

= общий =    09.12.2021, 17:16
В цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед, большее ребро его основания которого равна а. Диагональ параллелепипеда составляет с его большей боковой гранью угол , а с плоскостью основания угол . Найти площадь боковой поверхности цилиндра.

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323195

= общий =    10.12.2021, 02:04
Вы хорошо постарались! Я понял Условие Вашей задачи и начинаю искать подходящие формулы для её решения. Вы можете ускорить мой поиск, если сообщите: Откуда Вы взяли эту задачу и Какую тему Вы сейчас изучаете? Вероятно, "Уравнение Плоскости в пространстве?"
Будет очень хорошо, если Вы опубликуете сюда "Методическое пособие" ("методичку") Вашего учебного заведения либо ссылку на него. Иначе я могу решить эту задачу не тем методом, который желает увидеть Ваш преподаватель.
terra7605

Посетитель

ID: 405608

323200

= общий =    10.12.2021, 13:44
Учебник 10-11 класс. Геометрия. Автор Атанасян
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323205

= общий =    10.12.2021, 15:54
Мне удалось решить Вашу задачу в популярном приложении Маткад (ссылка) . Но Вашему преподавателю вряд ли понравится такое Решение.
Я поискал в интернете "Геометрия Атанасян 10-11 класс", чтоб скачать указанный Вами учебник. Найти учебник целиком не удалось. Но среди огромной кучи мерзких реклам есть перечень задач из Атанасян-учебника. Их там сотни!
Какой номер Вашей задачи?
Даны ли Вам конкретные числовые данные для углов α, β и длины ребра "a" ?
terra7605

Посетитель

ID: 405608

323207

= общий =    10.12.2021, 19:42
этой задачи в учебнике нет. Ее придумал сам учитель. Числовых данных тоже нет.
terra7605

Посетитель

ID: 405608

323208

= общий =    10.12.2021, 19:44
Что-то похожее есть в номере 290 и 291
terra7605

Посетитель

ID: 405608

323209

= общий =    10.12.2021, 19:47
но в этих задачах известна диагональ, что намного упрощает решение.
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323213

= общий =    11.12.2021, 09:35
Мне думается, Вы обманываете меня сообщением, будто Ваша задача взята из обычной школьной программы. В школьных учебниках задачи тщательно подобраны, они имеют посильную трудность, соответствуют пройденному учебному материалу и поэтому процесс их Решения тренирует навыки учащихся.
Из Вашей поправки "Ее придумал сам учитель" можно догадаться, что задачу сляпали горе-репетиторы из конторы "Сириус", где ничему не учат, а задают непрактичные задачи повышенной трудности. Ученики не могут решить их и перекладывают непосильный труд на экспертов портала rfpro.ru и др спецов. Пользы от этого никому нет, только убиваем время.

Я уже приступил оформлять Ответ с Решением Вашей задачи, но не знаю, как объяснить школьнику вычисление угла м-ду прямой и плоскостью в 3х-мерном пространстве, где диагональ параллелограмма имеет косые углы сразу к 2м плоскостям. Пытаюсь начертить 3х-мерный чертёж, но я давно не делал этого. Мне понадобится ещё примерно 6 часов.
terra7605

Посетитель

ID: 405608

323278

= общий =    12.12.2021, 18:35
Большое спасибо! Вы мне очень помогли!
Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

ID: 259041

323290

= общий =    13.12.2021, 02:40
НаЗдоровье Вам!
Не забывайте проставлять воодушевляющие Оценки за полученные Ответы.
Тогда эксперты будут охотнее отвечать на Ваши Вопросы.
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.