Условие: БОльшая сторона основания вписанного прямоугольного параллелепипеда = "а",
Диагональ параллелепипеда составляет с его бОльшей боковой гранью угол [$946$] , а с плоскостью основания угол [$945$] .
Вычислить площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение: Сложные геометрические задачи надо решать с чертежом (прилагаю его ниже). Обозначим нижнее основание параллелепипеда буквами ABCD, а верхнее основание - A'B'C'D'. БОльшее ребро основания равно AD = a по Условию. Тогда BD = d - диаметр описывающего цилиндра высотой h .
В треугольнике BB'D замечаем связь: BD / B'D = cos([$945$]) . Значит Диагональ параллелепипеда B'D = d / cos([$945$])

Самое трудное: "Диагональ параллелепипеда составляет с его бОльшей боковой гранью угол [$946$]" - смотрим на плоскость бОльшей боковой грани AA'D'D . Плоскость треугольника A'B'D перпендикулярна плоскости AA'D'D. Значит, диагональ A'D есть проекция диагонали B'D на плоскость грани AA'D'D. Тогда угол м-ду диагональю параллелепипеда B'D и боковой гранью AA'D'D будет угол м-ду диагональю B'D и её проекцией A'D на грань. То есть:
sin([$946$]) = A'B' / B'D , откуда следует A'B' = B'D·sin([$946$]) [$8658$] A'B'² = B'D²·sin²([$946$])
По теореме Пифагора A'B'² = AB² = BD² - AD² = d² - a²
Отсюда : d² - a² = B'D²·sin²([$946$]) . Вспоминаем, что B'D = d / cos([$945$]) , значит:
d² - a² = d²·sin²([$946$]) / cos²([$945$])

Чтоб решить полученное уравнение с одним неизвестным d , перемещаем члены с "d" в левую часть уравнения:
d² - d²·sin²([$946$]) / cos²([$945$]) = a²
d²·[1 - sin²([$946$]) / cos²([$945$])] = a²
d = a / [$8730$][1 - sin²([$946$]) / cos²([$945$])] = a·cos([$945$]) / [$8730$][cos²([$945$]) - sin²([$946$])]

Для вычисления искомой площади боковой поверхности цилиндра по известной формуле S = [$960$]·d·h нам осталось вычислить h-высоту цилиндра. Подмечаем, что
BB' / BD = tg([$945$]) , значит h = BB' = BD·tg([$945$]) = d·tg([$945$]) = a·cos([$945$])·tg([$945$]) / [$8730$][cos²([$945$]) - sin²([$946$])] = a·sin([$945$]) / [$8730$][cos²([$945$]) - sin²([$946$])]

S = [$960$]·d·h = [$960$]·{a·cos([$945$]) / [$8730$][cos²([$945$]) - sin²([$946$])]}·{a·sin([$945$]) / [$8730$][cos²([$945$]) - sin²([$946$])]} = [$960$]·a²·sin([$945$])·cos([$945$]) / [cos²([$945$]) - sin²([$946$])]²
Для оптимизации результата вспомним тригонометрические упрощения: 2·sin([$945$])·cos([$945$]) = sin(2·[$945$]) ,
2·cos²([$945$]) = 1+cos(2·[$945$]) , 2·sin²([$946$]) = 1-cos(2·[$946$]) .
Ответ: Площадь боковой поверхности цилиндра равна [$960$]·a²·sin(2·[$945$]) / [cos(2·[$945$]) + cos(2·[$946$])]

Для проверки расположим наш параллелепипед на прямоугольную систему координат так, чтобы его нижняя вершина A совместилась с началом координат. Тогда плоскость xAy с нижней гранью ABCD основания имеет уравнение z = 0 , а её вектор нормали n_z{0; 0; 1}.
БОльшая боковая грань AA'D'D находится на плоскости xAz с уравнением y = 0 и нормаль-вектором n_y{0; 1; 0}.

Читаем пункт "Как найти угол м-ду прямой и плоскостью?" в учебной статье "Взаимное расположени прямой и плоскости. Основные задачи на прямую и плоскость" Ссылка1
Используем формулу синуса угла м-ду прямой и плоскостью:
sin([$966$]) = |n^[$8594$]·p^[$8594$]| / (|n|·|p|) , где n^[$8594$] - нормаль-вектор плоскости, |n| - его модуль, p^[$8594$] - направляющий вектор прямой, |p| - его модуль.

Я сделал вычисления в популярном приложении Маткад (ссылка2) . Маткад-скриншот с чертежом прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
Оба метода решения (Школьно-классический и Аналитической геометрии) возвратили одинаковые результаты. Значит, проверка успешна.
Примечание: в этой задаче существуют жёсткие ограничения на область допустимых значений углов. Можно задавать только такие пары углов, при которых выражения под радикалами знаменателя положительны. Успешно опробовани пары ([$945$]=[$960$]/6, [$946$]=[$960$]/6), ([$945$]=[$960$]/4, [$946$]=[$960$]/6), ([$945$]=[$960$]/6, [$946$]=[$960$]/4), ([$945$]=[$960$]/3, [$946$]=[$960$]/12) .
Я старался начертить и объяснить всё подробно и доходчиво. Если что-то осталось непонятным, задавайте вопросы в миниформуме. =Удачи!