Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос, вместо "выбрать" нужно поставить соответствующие названия либо произведения (там есть что-то на подобие "отрезок/отрезок=1"):
Из вершины A тупого угла параллелограмма ABCD опущены перпендикуляры AM и AN на стороны BC и CD соответственно. Прямые BN и DM пересекаются в точке P. Докажите, что прямые AP и MN перпендикулярны.

Решение. Пусть высоты MX и NY треугольника AMN пересекаются в ортоцентре H, прямая MX пересекает AD в точке Z. Достаточно проверить, что точка H лежит на прямой AP.
Запишем теорему Менелая для треугольника CMD и прямой BN
Выбрать
=1.

Параллельность прямой NH сторонам параллелограмма BC и AD и прямой MH сторонам параллелограмма AB и CD приводит к равенствам BM=AZ,
Выбрать
и
Выбрать
. Подставляя их и принимая во внимание, что BC=AD, получаем соотношение

Выбрать
=1.

Это равенство представляет собой соотношение из обратной теоремы Менелая, записанное для треугольника
Выбрать
и точек A, P и H. Чётное число из этих точек лежит на сторонах, поэтому точки располагаются на одной прямой. Это и требовалось доказать.