Условие: В треугольнике ABC проведена биссектриса BN и вписана окружность с центром Q . AB = 52, BN = 30, CN = 108.
Вычислить стороны AC , BC треугольника. Вычислить отношение BQ : QN .

Решение: Вспоминаем свойства биссектрисы: AB / AN = BC / CN . Этого недостаточно, тк к-во неизвестных слишком велико. Ищем в интернете доп-свойства и находим редко-нужную формулу для вычисления Длины биссектрисы BN :
BN = 2·[$8730$][AB·BC·p·(p - AC)] / (AB + BC) , где p = (AB+BC+AC) / 2 - полупериметр треугольника ABC.
Точка пересечения биссектрисс - центр вписанной окружности. Значит, Q-центр принадлежит BN.

Составляем систему уравнений и решаем её. Решать эту систему Вы можете любым удобным Вам способом (в тч используя OnLine-решатели). Я люблю вычислять в популярном приложении Маткад (ссылка1) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с чертежом прилагаю. Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.

Второй пункт Условия "Вычислить отношение BQ : QN" я мог бы тоже выполнить в Маткад-уравнениях. Но мне думается, Ваш преподаватель ждёт от Вас какой-то другой метод Решения. Я поискал в интернете, и на странице "Отношение, в котором биссектриса делит сторону" Ссылка2 нашёл простую и совсем редко-нужную формулу :
BQ / QN = (AB + BC) / AC = 1,08

Ответ: AC = 156 ед, BC = 117 ед, отношение BQ : QN равно 1,08.
Лучшей проверкой для подобных решений геометрических задач является чертёж, выполненный по вычисленным координатам. Как видите, вписанная окружность отлично вписалась в треугольник ABC .
Вы не указали требуемый метод решения. Вы можете найти в интернете похожее решение желаемым методом, подставить в него свои числовые значения и использовать моё Маткад-решение в качестве проверки. =Удачи!