Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 201576
29.10.2021, 15:49
0.00 руб.
0 4 2
Образование
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:
В треугольнике ABC известны длины сторон: AB=3, AC=4. Точка M — середина стороны BC. Найдите скалярное произведение AM и BC

Обсуждение

давно
Коцюрбенко Алексей Владимирович
Старший Модератор
312929
1973
30.10.2021, 04:22
общий
это ответ
Так как

то

и

Тогда

5
давно
Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт
259041
7459
30.10.2021, 05:50
общий
30.10.2021, 12:43
это ответ
Условие: В треугольнике ABC стороны AB = 3 , AC = 4 . Точка M - середина стороны BC .
Вычислить Скалярное произведение векторов СП = AM[$8594$]·BC[$8594$] .

Решение : Не ленимся и чертим треугольник, тк время-затраты на простейший схематический чертёж всегда окупаются избавлением от путаницы и вероятных ошибок. Поскольку "Точка M - середина стороны BC", значит : BM = MC .
Задаём стрелками направления векторов в соответствии с наименованиями Условия : стороне AB соответствует вектор, направленный от вершины A до вершины B . Соответственно AM - это вектор от вершины A до точки M .

Составляем исходные векторные уравнения согласно чертежу: AB[$8594$] + BC[$8594$] = AC[$8594$] , BM[$8594$] = BC[$8594$] / 2 , AB[$8594$] + BM[$8594$] = AM[$8594$] .
Из этих очевидных первичных уравнений готовим производные уравнения векторов для Скалярного произведения:
BC[$8594$] = AC[$8594$] - AB[$8594$]
AM[$8594$] = AB[$8594$] + BM[$8594$] = AB[$8594$] + BC[$8594$] / 2 = AB[$8594$] + (AC[$8594$] - AB[$8594$]) / 2 = (1/2)·(2·AB[$8594$] + AC[$8594$] - AB[$8594$]) = (1/2)·(AB[$8594$] + AC[$8594$])
Всё готово для операции умножения: Умножаем:
СП = AM[$8594$]·BC[$8594$] = (1/2)·(AB[$8594$] + AC[$8594$])·(AC[$8594$] - AB[$8594$]) = (1/2)·(AB[$8594$]·AC[$8594$] + AC[$8594$]·AC[$8594$] - AB[$8594$]·AB[$8594$] - AC[$8594$]·AB[$8594$])

Используя переместительный закон скалярного произведения (см учебную статью "Скалярное произведение векторов… Свойства скаляр-произведения" Ссылка1 ) заменяем
AB[$8594$]·AC[$8594$] - AC[$8594$]·AB[$8594$] = AB[$8594$]·AC[$8594$] - AB[$8594$]·AC[$8594$] = 0 , и тогда у нас остаётся
СП = AM[$8594$]·BC[$8594$] = (1/2)·(AC[$8594$]·AC[$8594$] - AB[$8594$]·AB[$8594$]) = (1/2)·(AC[$8594$]2 - AB[$8594$]2) = (1/2)·(AC2 - AB2) = (1/2)·(42 - 32) = (1/2)·(16 - 9) = 7/2 = 3,5
Ответ : Скалярное произведение векторов СП = AM[$8594$]·BC[$8594$] = 3,5

Проверка: В популярном приложении Маткад (ссылка2) задаём длины сторон AB = 3 , AC = 4 и произвольную абсциссу x=1 точки B . Вычисляем Скалярное произведение. Оно всегда равно
СП = AM[$8594$]·BC[$8594$] = 3,5 для любого x = (-3 ; +3). Значит, проверка успешна.
5
давно
Михаил
Посетитель
405299
21
30.10.2021, 17:21
общий
Адресаты:
спасибо вам огромное
давно
Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт
259041
7459
31.10.2021, 02:08
общий
Адресаты:
Наздоровье Вам! Успехов в Математике!
Форма ответа