Условие : В правильной 6-угольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ точка M - середина ребра CC₁ .
Задано построить прямую пересечения плоскостей D₁ME₁ и ABC, а также вычислить, в каком отношении плоскость
[$945$] = D₁ME₁ делит диагональ B₁E призмы?

Решение: В Условии задачи НЕ заданы размеры призмы. Пусть все рёбра основания равны a = 1, а высота h = 1 . В конце Решения убедимся, что Ответ (отношение отрезков) НЕ зависит от размера призмы.
Начертим призму в декартовой системе координат, поместив вершину A в начало координат. Тогда координаты вершин будут
A(0 ; 0 ; 0), B(a/2 ; -a·[$8730$](3)/2 ; 0), C(1.5·a ; -a·[$8730$](3)/2 ; 0), D(2·a ; 0 ; 0), …
Точка M(1.5·a ; -a·[$8730$]3 / 2 ; h/2) - есть средне-арифметическое координат точек C и C1 .
Точка U(a ; 0 ; 0) - центр нижнего основания; Точка Q(a ; 0 ; h/2) - центр призмы.

Ключевое построение секущей плоскости [$945$] выполнено по формулам, опубликованным в учебно-методической статье "Как составить уравнение плоскости?" mathprofi.ru/uravnenie_ploskosti.html (ссылка)

Уравнение нашей плоскости [$945$] = [$8730$](3)·x + y - 2·[$8730$](3)·z = 0 НЕ содержит свободного члена! Значит, секущая плоскость проходит ч-з начало координат с вершиной A(0 ; 0 ; 0) . Но вершины A и D₁ симметричны относительно центра призмы Q ! А поскольку AB || D₁E₁ , то, вероятно, что сечение проходит и ч-з вершину B ?
Проверяем : [$945$](B_x ; B_y ; B_z) = 0 - верно! Равенство [$945$](B) = 0 значает, что точка B принадлежит плоскости [$945$] !
Ну, тогда и точка M должна иметь пограничного собрата на продолжении линии MQ , то есть: в точке F2 - середине ребра FF₁ !
Проверяем : [$945$](F_x ; F_y ; h/2) = 0 - значит, задача решена! С такой редкой центральной симметрией диагональ B₁E делится пополам плоскостью [$945$] в центре призмы - точке Q .

Ответ: Секущая плоскость [$945$] делит диагональ B₁E призмы пополам.
Прямая пересечения плоскостей [$945$] и ABC - это ребро AB , поскольку плоскость ABC - это плоскость нижнего основания xOy (её формула z = 0).

Формулы и вычисления я выполнил в приложении Маткад . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.
Функция stack(число1, число2, число3) создаёт 3х-мерный вектор из 3х его ортогональных проекций.

Если задать a = 10, а h = 20 , то уравнение плоскости изменяется на [$945$] = [$8730$](3)·x + y - [$8730$](3)·z , длины отрезков равны:
B₁Q = EQ = [$8730$][a² + (h/2)²] = 10·[$8730$]2 = 14,142 и по-прежнему делятся пополам секущей плоскостью НЕзависимо от размеров призмы.

Часто такие задачи решают с помощью векторов.

ПРИМЕЧАНИЕ. Ниже векторы обозначены полужирным шрифтом (например, K).

Поскольку эта задача из стереометрии, выберем три вектора, не лежащие в одной плоскости (чтобы ни один из них не выражался через другие).
Например, выберем векторы D[sub]1[/sub]C[sub]1[/sub], D[sub]1[/sub]E[sub]1[/sub] и C[sub]1[/sub]C. Для краткости обозначим их, соответственно, I, J и К.

В результате все ребра, кроме ребер BC, B₁C₁, EF и E₁F₁, выражаются через один из этих векторов.

Вышеуказанные четыре ребра (BC, B₁C₁, EF и E₁F₁) лежат на параллельных прямых и имеют одинаковую длину. Значит, их можно рассматривать как какой-то один и тот же вектор. Найдем его. Например, найдем вектор C[sub]1[/sub]B[sub]1[/sub].

Этот вектор лежит на прямой, параллельной диагонали D₁A₁, которая является биссектрисой [$8736$]E₁D₁C₁. Значит, складывая векторы D[sub]1[/sub]E[sub]1[/sub] и D[sub]1[/sub]C[sub]1[/sub], мы получаем вектор I+J, сонаправленный вектору C[sub]1[/sub]B[sub]1[/sub]. Найдем длину вектора I+J.

Пусть длина шестиугольника равна A. Тогда I[sup]2[/sup]=J[sup]2[/sup]=A².

(I+J)²=I[sup]2[/sup]+J²+2*I[$183$]J=A²+A²+2*A*A*cos(120[$176$])=2*A²-2*A²*cos(60[$176$])=2*A²-2*A²*0,5=A², т.е. длина вектора I+J та же, что и векторов I и J.

Поскольку все стороны у данного шестиугольника равны, а длина I+J равна длинам I и J, значит, вектор I+J не просто сонаправлен вышеуказанным четырем векторам, а равен им. То есть это и есть искомый вектор.

Будем для каждой точки определять "координаты" относительно точки D₁, т.е. будем определять векторы, начало которых находится в точке D₁, а концы - в данной точке. В задаче фигурируют АВС, М, D₁ME₁ и B₁E. Определим "координаты" соответствующих точек.

D[sub]1[/sub]D[sub]1[/sub]=0 (нулевой вектор)
D[sub]1[/sub]E[sub]1[/sub]=J
D[sub]1[/sub]E=D[sub]1[/sub]E[sub]1[/sub]+E[sub]1[/sub]E=J+K
D[sub]1[/sub]M=D[sub]1[/sub]C[sub]1[/sub]+1/2*C[sub]1[/sub]C=I+K/2
D[sub]1[/sub]C=D[sub]1[/sub]C[sub]1[/sub]+C[sub]1[/sub]C=I+K
D[sub]1[/sub]B=D[sub]1[/sub]C+CB=(I+K)+(I+J)=2*I+J+K
D[sub]1[/sub]A=D[sub]1[/sub]B+BA=(2*I+J+K)+J=2*I+2*J+K
D[sub]1[/sub]B[sub]1[/sub]=D[sub]1[/sub]B - B[sub]1[/sub]B=2*I+J+K-K=2*I+J

1) Теперь найдем линию пересечения плоскостей АВС и D₁ME₁.

Воспользуемся тем, что точка принадлежит плоскости, проведенной через три точки с "координатами" R[sub]1[/sub], R[sub]2[/sub], R[sub]3[/sub] (относительно некоторой фиксированной точки), если "координаты" данной точки R можно представить в виде:

R=p*R[sub]1[/sub]+q*R[sub]2[/sub]+s*R[sub]3[/sub], где p, q, s - такие действительные числа, что p+q+s=1.

Тогда, с одной стороны, "координаты" любой точки пересечения можно задать как координаты плоскости АВС, т.е. в виде:

p*(2*I+2*J+K) + q*(2*I+J+K) + (1-p-q)*(I+K) = I*(2*p+2*q+1-p-q)+J*(2*p+q)+K*(p+q+1-p-q)=
=I*(p+q+1) + J*(2*p+q) + K

С другой стороны, "координаты" этой же точки можно задать как координаты плоскости D₁ME₁, т.е. в виде:

s*J+t*(I+K/2)+(1-s-t))*0 = s*J + t*(I+K/2) = I*t + J*s + K*t/2

Приравниваем эти два выражения и приводим подобные:

I*(p+q+1) + J*(2*p+q) + K = I*t + J*s + K*t/2

I*(p+q+1-t) + J*(2*p+q-s) + K*(1 - t/2) = 0

Поскольку векторы I, J, K различные и не лежат в одной плоскости (независимые), то нулевой вектор можно получить, только умножая каждый вектор на 0.
Поэтому приравниваем к нулю коэффициенты при всех трех векторах:

p+q+1-t=0
2*p+q-s=0
1 - t/2=0

или

t=2
p+q+1-2=0
2*p+q-s=0

У нас осталось два уравнения с тремя неизвестными. Значит, можем остальные переменные выразить через какую-нибудь одну. Поскольку t известна, а в паре с ней шла переменная s, значит, все можно выразить через s.

Тогда координаты точки пересечения плоскостей можно представить в виде (см. выше "С другой стороны...")

r=I*2 + J*s + K*2/2 = 2*I + K + s*J,

т.е. это прямая , проходящая через точку с "координатами" 2*I + K в направлении вектора J (а также в противоположном направлении).

Вспомним, что эти "координаты" уже встречались у точек А и В. Проверяем и видим, что при s=1 получаем точку В, а при s=2 - точку А. Значит, обе точки лежат на этой прямой.

ОТВЕТ: это прямая, проходящая через точки А и В.

2) В каком отношении плоскость D₁ME₁ делит диагональ B₁E призмы.

Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через через точку B₁ в направлении вектора EB[sub]1[/sub].

EB[sub]1[/sub]= D[sub]1[/sub]E - D[sub]1[/sub]B[sub]1[/sub] = (J+K) - (2*I+J) = K - 2*I

Уравнение прямой:

r = D[sub]1[/sub]B[sub]1[/sub] + p*EB[sub]1[/sub], где p - любое число

или

r = 2*I+J + p*(K-2*I) = 2*(1-p)*I +J + p*K

Наша задача - определить значение "p", которое означает, какую часть диагонали B1E составляет отрезок от точки Е до точки пересечения с плоскостью.

Уравнение для точки в плоскости D₁ME₁ уже нашли в пункте 2 ("С другой стороны..."). Приравниваем эти значения и приводим подобные.

2*(1-p)*I +J + p*K = I*t + J*s + K*t/2

I*(2 - 2*p -t) + J*(1-s) + K*(p-t/2) = 0

Приравниваем коэффициенты к нулю.

2 - 2*p -t=0
1-s=0
p-t/2=0

Нас интересуют уравнения
2 - 2*p -t=0
p-t/2=0

2 -2*p -2*p=0
t=2*p

2=4*p

=>p=1/2.

Таким образом, диагональ B₁E в точке пересечения делится пополам.

ОТВЕТ: диагональ B₁E в точке пересечения делится пополам.