Здравствуйте, vitorio!
Условие : Географическая широта [$966$] = 30°, угол [$946$] = 30° (с осью вращения Земли).
Вычислить продолжительность T суток на Земле для выполнения Условия.

Решение : В задачах с вращением и геометрическим сложением сил надо начинать работу с черчения схематичного рисунка.
На рисунке показываем направления первичных сил : Сила тяжести P = m·g направлена к центру Земли. Центробежная сила вращения
Fц = m·[$969$]²·r оттягивает груз прочь от оси вращения. Здесь [$969$] - угловая скорость вращения Земли;
r = Rз·cos([$966$]) - радиус вращения груза; Rз = 6,37·10⁶ м - радиус Земли;
g = 9,8066 м/сек² - ускорение земного тяготения.
m - масса груза. Значение массы не влияет на ускорения и на искомый период. Для упрощения промежуточных расчётов удобно задать единичную массу m = 1 кг.

Геометрическая сумма этих сил Fs уравновешивается силой Fн натяжения нити. Fs и Fн находятся на 1 прямой, равны по модулю и противоположно направлены.

Для нахождения геометрической суммы Fs удобно поместить чертёж на координатную плоскость xOy и разложить вектор P на составляющие :
Вектор Px = P·cos([$966$]) [$8776$] 8,5 н направлен влево по рисунку;
Вектор Py = P·sin([$966$]) [$8776$] 4,9 н направлен вниз по рисунку.

Сила Fs тоже состоит их 2х составляющих : Fsx = Px - Fц направлена влево по рисунку;
Fsy = Py направлена вниз по рисунку.
Тогда силу натяжения нити и силу Fs можно вычислить по теореме Пифагора как Fs = [$8730$](Fsx² + Fsy²) , но она никому не нужна.
Нам важна связь направлений с углом [$946$] , составляем уравнение Fsx = tg([$946$])·Fsy
Вычисления и графо-построения я делаю в удобном приложении Маткад (ссылка) . Маткад работает быстро и избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.

Ответ: чтобы нить с грузом образовала угол [$946$]=30° с осью вращения Земли, Земля должна вращаться с периодом 6202 сек (1,7 час).