Здравствуйте, kuznetsova,79
Решение мое, конечно, не столь изысканно будет, как, например, сделал бы Владимир Николаевич, ... да, но, тем не менее, применяю здесь мой любимый графический метод, используя вашу VAх, ну и какие-то остатки мозгов, не испорченные пока ковидом
Итак,
В вашу схему добавим несколько обозначений (см.рис.1)

Рис.1
Поскольку ток через вольтметр не течет, следовательно, потенциалы точек А и B одинаковы, следовательно, электростатически их можно считать одной точкой и тогда исходную схему можно преобразовать так, как показано на рис. 2 - два последовательных участка, каждый из которых представляет собой две параллельные ветви.

Рис.2
По схеме на рис.2 видно, что напряжение на левой части реостата и напряжение на лампе одинаковы и равны U_L. Падение напряжения на правой части реостата равно напряжению на резисторе и равно U_R.
При этом
U_L+U_R=[$8496$] (*)
Теперь определимся с еще одним моментом. Поскольку ток через перемычку АВ не течет, следовательно ее можно вообще убрать. Тогда получится схема, представленная на рис.3.

Рис.3
Анализ этой схемы дает следующую мысль - потенциалы точек А и В будут равны при условии, что сопротивления лампы и левой части реостата будут одинаковы.
R_Л=R_L (**)
Аналогично
r=R_R (***)
Следовательно, искомое соотношение R_L/R_R будет равно соотношению R_Л/r
R_L/R_R =R_Л/r (****)
которое, в свою очередь, равно отношению напряжений U_L/U_R
Таким образом, искомое соотношение
R_L/R_R=U_л/U_r (*****)
- где U_Л - напряжение на лампочке; U_r - напряжение на резисторе.
До этого момента я дошел довольно быстро, но что дальше? - хотелось бы красивую формулу вывести на основании закона Ома и законов параллельного и последовательного соединений проводников, но что-то уперлось моё размышлениЁ - я не смог справиться с алгеброй - она меня победила, поэтому обратился к графику (А что делать? - метод эмпирического подбора данных неоднократно использовался не только мною но и ВЕликими (см. "Историю физики")).
Значит так... На вольт-амперной характеристике найдем пару точек, которые, по нашей мысли, могут отвечать условиям (*), например (см.рис.4):
1) Пусть напряжение на лампе U_L=2B, тогда соответствующий ток I=0,3 А, тогда напряжение на резисторе U_r=I*r=3 В .... Проверяем выполнение условия (*)
2В+3В=5В[$8800$][$8496$]=4В - не подходит;

Рис.4
берем другую точку
2) U_L=1B [$8658$] I=0,2A [$8658$] U_r=0,2*10=2B
1B+2B = 3B; 3B[$8800$]4B - не подходит;
Но теперь становится понятно, что искомая точка на графике должна быть где-то между 1-й и 2-й, которые мы уже рассмотрели.
Попробуем взять серединку
3) U_L=1,5B.
Здесь так четко не видно, какова сила тока при таком напряжении, как это было видно с точками в случае 1 и 2. Однако, похоже, что 0,25 А, или даже чуть выше (на какой-то микрон буквально), ну пусть будет 0,26 А.
I=0,26A [$8658$] U_r=I*r=0,26*10=2,6 В
Проверяем выполнение условия (*)
1,5+2,6 = 4,1 В - ого - получилось - и если бы приняли все-таки I=0,25 A,то попали бы вообще - четко. Но, надо здесь заметить, что физика не совсем точная наука, даже, я бы сказал, вообще не точная. Все измеряется и считается приблизительно, но с некоторой степенью точности. У нас точность задана до десятых, ну что ж, считаем окончательно:
- в соответствии с выражением (*****)
R_L/R_R=1,5/2,6=0,577=0,6
(если в последнем случае подбора принять ток не 0,26, а 0,25 А, тогда искомое отношение R_L/R_R будет точно равно 0,6 - проверьте самостоятельно)
Удачи

Здравствуйте, kuznetsova.79!
Уважаемый эксперт Konstantin Shvetski уже отправил Вам Ответ. К этому совершенно правильному Ответу я добавлю 2 очень удобных приёма решения, которые активно используются студентами радио-технических ВУЗов и инженерами КИП/Автоматики.

Дано: ВАХ лампочки; E = 4 В ; r = 10 Ом .
Вычислить отношение сопротивлений частей реостата N = R_L / R_R .

Решение : Когда нелинейный элемент с ВАХ (ВольтАмперной характеристикой), заданной графически, соединён с нагрузкой (резистором r ) последовательно, то через них протекает одинаковый, общий ток. И находить этот ток легче всего построением так называемой "Нагрузочной линии" (см статью "Элементы ОптоЭлектроники" Ссылка1 \ стр7 )

Я добавил на Вашу ВАХ нагрузочную линию красным цветом, соединив 2 точки с координатами (0 ; 0.4 А) и (4.0 В ; 0). Картинку прилагаю ниже.

На пересечении нагрузочной линии с ВАХ-кривой просто считываем ток лампы Iл [$8776$] 0,26А и напряжение на лампе Uл [$8776$] 1,45 В .
Тогда напряжение на резисторе r будет
Ur = E - Uл = 2,55 В.

"идеальный вольтметр показывает нулевое напряжение" напоминает популярнейший в электро-измерениях Мост Уитстона (см Ссылка2 , Ссылка3 , Ссылка4 )

Для сбалансированного моста применимы простые пропорции:
R_L / R_R = Rл / r
где Rл = Uл / Iл - фиктивно-эквивалентное сопротивление нелинейной лампы.
Таким образом, искомое отношение
N = R_L / R_R = Uл / Ur = 0,569
Ответ: Отношение сопротивлений частей реостата N = R_L / R_R равно 0,6 .