Консультация № 199037
25.07.2020, 13:44
0.00 руб.
1 4 1
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:

Клин с углом при основании 40∘ движется поступательно со скоростью 2 м/с по горизонтальной поверхности в направлении, перпендикулярном вертикальной стенке (от неё). На наклонной поверхности клина находится брусок, привязанный нерастяжимым тросом к стенке. Трос перекинут через блок на вершине клина (см. рисунок). Найдите скорость бруска.Брусок при движении не отрывается от поверхности клина.
Прикрепленные файлы:
e2e770fb9a4c5be225c6d54eadb1472da7ac7730.png

Обсуждение

давно
Мастер-Эксперт
259041
7459
26.07.2020, 14:28
общий
это ответ
Здравствуйте, marina.chernomorec!
Условие: Угол клина [$945$] = 40°, Скорость клина Vk = 2 м/с.
Вычислить скорость Vb бруска.

Решение : По определению Скорость - это Путь, делёный на Время движения. Вычисляем путь, как изменение координат точки М - крепления бруска к нити. На Вашем рисунке я добавил копию смещённого клина с бруском спустя время t после начала движения. Также я добавил систему координат XOY и позиционные обозначения. Рисунок прилагаю ниже.

Координаты точки М (клина) в начале движения обозначим X1 и Y1 .
Зафиксируем длину участка нити OM : OM = [$8730$](X12 + Y12) (по теореме Пифагора) .
Участок нити левее точки О (в сторону стены) игнорируем.

За время t клин проехал расстояние OB . Координаты точки М стали X2 и Y2 .
Пусть длина участка OB равна L .
Тогда длина наклонного участка BM = [$8730$][(X2 - L)2 + Y22] - тоже по теореме Пифагора.

Поскольку нить - НЕрастяжимая, то длина её участка OB + BM равна ранее-зафиксированной длине:
L + [$8730$][(X2 - L)2 + Y22] = [$8730$](X12 + Y12)

Свяжем X и Y-координаты заданным углом [$945$] :
Y1 = X1·tg([$945$])
Y2 = (X2 - L)·tg([$945$])
Заменим tg([$945$]) короткой буквой k = tg(40°) = 0,839
L + [$8730$][(X2 - L)2 + X22·k2] = [$8730$](X12 + X12·k2)

Нам же нужна скорость бруска Vb = [$8730$][(X2 - X1)2 + (Y2 - Y1)2] / t . Попытаемся связать их :
Vb2 = (X2 - X1)2 + [(X2 - L)·k - X1·k]2 / t2 - слишком сложно решать в такой классически-неподвижной системе координат! Это - не для средних умов!

Тогда решаем в системе координат, связанной с клином.
Пусть клин покоится, а стена удаляется от него влево и тянет нить со скоростью Vk влево.
Тогда наклонная скорость Vn выборки нити ч-з блок тоже равна Vk по величине (не по направлению), поскольку нить - НЕрастяжимая.
Это и есть искомая Скорость бруска, только она выражена в клиновой системе отсчёта.
Для перевода её в земную систему отсчёта надо вектор Vn[$8594$] сложить с вектором Vk[$8594$] геометрически.
Разложим вектор Vn[$8594$] на ортогональные проекции:
Vy = Vn·sin([$945$]) = Vk·sin(40°) = 2·0,643 = 1,286 м/с вверх.
Vx = Vn·cos([$945$]) = Vk·cos(40°) = 2·0,766 = 1,532 м/с влево.

Составляющие искомой Vb : Vby = Vy = 1,286 м/с вверх.
Vbx = Vk - Vx = 2 - 1,532 = 0,468 м/с вправо.
Ответ : скорость бруска Vb = [$8730$](Vby2 + Vbx2) = 1,368 м/с вверх-вправо (я показал этот вектор на правом рисунке чертежа).

Не ошибся ли я? Для проверки правильности решения впадаем в 2 крайности:
1)[$945$] = 0 (клин плоский). Тогда :
Vy = Vk·sin(0) = 0 , Vx = Vk·cos(90°) = 2·1 = 2 м/с, Vbx = 2 - 2 = 0 - брусок покоится на выезжающем изпод него плоском клине. Так и надо!

2)[$945$] = 90° (брусок свисает ч-з блок вместо клина).
В этом случае Vy = Vk·sin(90°) = 2 м/с , Vx = Vk·cos(90°) = 0 , Vbx = 2 - 0 = 2 м/с .
Vb = [$8730$](22 + 02) = 2·[$8730$]2 = 2,83 м/с - брусок участвует в 2х ортогональных движениях, всё логично! Проверка успешна!
5
давно
Посетитель
404236
6
26.07.2020, 23:17
общий
Огромное спасибо! Буду разбираться. Благодарю за помощь.
давно
Мастер-Эксперт
259041
7459
27.07.2020, 01:56
общий
27.07.2020, 05:19
Адресаты:
На здоровье Вам! Я рад Вашей благодарности.

Ваше "Буду разбираться" означает, что Вы ещё не разобрались в первом чтении Ответа и затрудняетесь в мысленном представлении процесса. Тогда у Вас дома наверняка найдутся кухонная доска или др гладкая, плоская фанерка/пластик длиной 25…50 см. Положите её на стол или подоконник вместо клина. На фанерку положите гаечку (бусинку, рыболов-грузик…), конец которого привяжите к стене (к шкафу или к др опоре).
Тяните лежачую фанерку вправо и наблюдайте сбоку. Если нить уже натянута, то скорость грузика =0 , он скользит, но покоится, как в первой провер-крайности моего Ответа.

Наклоните фанерку на угол 90…120°, чтобы грузик свисал свободно. Тяните вертикальную фанерку вправо. Вы убедитесь, что горизонтальная составляющая скорости грузика будет равна скорости фанерки. Вертикальная составляющая - тоже. Итого скорость грузика равна скорости фанерки, умноженной на [$8730$]2 =1,41 как во 2й провер-крайности моего Ответа.

Наклоните фанерку на угол 30…40°, повторите опыт, - и Ваши сомнения развеются. Удачи!
давно
Посетитель
404236
6
27.07.2020, 07:29
общий
Спасибо большое!!! Практика очень всегда очень помогает! Я разобралась уже, и этот подход нагляден для обьяснения детворе. Спасибо!
Форма ответа