Здравствуйте, vjzgjxnf-2019!

1. Полагая переменные x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub] свободными и равными 0, получим начальный опорный план X = (0, 0, 5, 4). Составим симплекс-таблицу:
[table]
[row][col]Базис[/col][col][/col][col]x₁[/col][col]x₂[/col][col]x₃[/col][col]x₄[/col][/row]
[row][col]x₃[/col][col]5[/col][col]1[/col][col]-2[/col][col]0[/col][col]1[/col][/row]
[row][col]x₄[/col][col]4[/col][col]2[/col][col]3[/col][col]1[/col][col]0[/col][/row]
[row][col]z[/col][col]0[/col][col]0[/col][col]-1[/col][col]0[/col][col]-1[/col][/row]
[/table]
Этот опорный план допустим, так как все свободные члены (5, 4) положительны, но неоптимален, так как в индексной строке z есть отрицательные коэффициенты.
Наибольший по модулю отрицательный коэффициент в индексной строке равен -1. Соответствующая ему переменная x[sub]2[/sub] будет новой базисной переменной, а соответствующий столбец - ведущим. Найдём частные от деления свободных членов на коэффициенты ведущего столбца: (-5/2, 4/3). Наименьшее среди них положительное значение равно 4/3. Соответствующая ему переменная x[sub]4[/sub] будет новой свободной переменной, а соответствующая строка - ведущей:
[table]
[row][col]Базис[/col][col][/col][col]x₁[/col][col silver]x₂[/col][col]x₃[/col][col]x₄[/col][/row]
[row][col]x₃[/col][col]5[/col][col]1[/col][col silver]-2[/col][col]0[/col][col]1[/col][/row]
[row][col silver]x₄[/col][col silver]4[/col][col silver]2[/col][col gray]3[/col][col silver]1[/col][col silver]0[/col][/row]
[row][col]z[/col][col]0[/col][col]0[/col][col silver]-1[/col][col]0[/col][col]-1[/col][/row]
[/table]
Разрешающий элемент, находящийся на пересечении ведущего столбца и ведущей строки, равен 3. Заменяем строку x[sub]4[/sub] на строку x[sub]2[/sub], для чего делим все её элементы на разрешающий элемент:
[table]
[row][col]Базис[/col][col][/col][col]x₁[/col][col silver]x₂[/col][col]x₃[/col][col]x₄[/col][/row]
[row][col]x₃[/col][col]5[/col][col]1[/col][col silver]-2[/col][col]0[/col][col]1[/col][/row]
[row][col silver]x₂[/col][col silver]4/3[/col][col silver]2/3[/col][col gray]1[/col][col silver]1/3[/col][col silver]0[/col][/row]
[row][col]z[/col][col]0[/col][col]0[/col][col silver]-1[/col][col]0[/col][col]-1[/col][/row]
[/table]
Исключаем новую базисную переменную x[sub]2[/sub] из остальных строк, для чего вычитаем из них строку x[sub]2[/sub], умноженную на соответствующий элемент столбца x[sub]2[/sub] (-2 для x[sub]3[/sub] и -1 для z):
[table]
[row][col]Базис[/col][col][/col][col]x₁[/col][col]x₂[/col][col]x₃[/col][col]x₄[/col][/row]
[row][col]x₃[/col][col]23/3[/col][col]7/3[/col][col]0[/col][col]2/3[/col][col]1[/col][/row]
[row][col]x₂[/col][col]4/3[/col][col]2/3[/col][col]1[/col][col]1/3[/col][col]0[/col][/row]
[row][col]z[/col][col]4/3[/col][col]2/3[/col][col]0[/col][col]1/3[/col][col]-1[/col][/row]
[/table]
Получаем новый опорный план X = (0, 4/3, 23/3, 0). Он допустим, так как все свободные члены (4/3, 23/3) положительны, но неоптимален, так как в индексной строке z есть отрицательный коэффициент -1 в столбце x[sub]4[/sub]. Других отрицательных коэффициентов нет, поэтому переменная x[sub]4[/sub] будет новой базисной переменной, а соответствующий столбец - ведущим. Найдём частные от деления свободных членов на коэффициенты ведущего столбца: (23/3, [$8734$]). Наименьшее среди них равно 23/3. Соответствующая ему переменная x[sub]3[/sub] будет новой свободной переменной, а соответствующая строка - ведущей:
[table]
[row][col]Базис[/col][col][/col][col]x₁[/col][col]x₂[/col][col]x₃[/col][col silver]x₄[/col][/row]
[row][col silver]x₃[/col][col silver]23/3[/col][col silver]7/3[/col][col silver]0[/col][col silver]2/3[/col][col gray]1[/col][/row]
[row][col]x₂[/col][col]4/3[/col][col]2/3[/col][col]1[/col][col]1/3[/col][col silver]0[/col][/row]
[row][col]z[/col][col]4/3[/col][col]2/3[/col][col]0[/col][col]1/3[/col][col silver]-1[/col][/row]
[/table]
Разрешающий элемент равен 1. Заменяем строку x[sub]3[/sub] на строку x[sub]4[/sub], разделив все её элементы на разрешающий элемент:
[table]
[row][col]Базис[/col][col][/col][col]x₁[/col][col]x₂[/col][col]x₃[/col][col silver]x₄[/col][/row]
[row][col silver]x₄[/col][col silver]23/3[/col][col silver]7/3[/col][col silver]0[/col][col silver]2/3[/col][col gray]1[/col][/row]
[row][col]x₂[/col][col]4/3[/col][col]2/3[/col][col]1[/col][col]1/3[/col][col silver]0[/col][/row]
[row][col]z[/col][col]4/3[/col][col]2/3[/col][col]0[/col][col]1/3[/col][col silver]-1[/col][/row]
[/table]
Исключаем новую базисную переменную x[sub]4[/sub] из остальных строк, для чего вычитаем из них строку x[sub]4[/sub], умноженную на соответствующий элемент столбца x[sub]4[/sub] (0 для x[sub]2[/sub] и -1 для z):
[table]
[row][col]Базис[/col][col][/col][col]x₁[/col][col]x₂[/col][col]x₃[/col][col]x₄[/col][/row]
[row][col]x₄[/col][col]23/3[/col][col]7/3[/col][col]0[/col][col]2/3[/col][col]1[/col][/row]
[row][col]x₂[/col][col]4/3[/col][col]2/3[/col][col]1[/col][col]1/3[/col][col]0[/col][/row]
[row][col]z[/col][col]9[/col][col]3[/col][col]0[/col][col]1[/col][col]0[/col][/row]
[/table]
Получаем новый опорный план X = (0, 4/3, 0, 23/3). Он допустим, так как все свободные члены (4/3, 23/3) положительны, и оптимален, так как в индексной строке z нет отрицательных коэффициентов. Другими словами, при x[sub]2[/sub] = 4/3, x[sub]4[/sub] = 23/3, x[sub]1[/sub] = x[sub]3[/sub] = 0 целевая функция принимает максимальное значение, равное z = 4/3 + 23/3 = 9.