Здравствуйте, artemys03!
Дано: Конденсатор C1 заряжен до напряжения U0 . C2 НЕ заряжен.
Вычислить выделившееся кол-во теплоты Q и остаточное заряды q₁ и q₂.

Решение : Я начертил простую электро-схемку для лучшего понимания процесса пере-распределения зарядов (схему прилагаю ниже).
Ёмкость C конденсатора связана с его зарядом q и напряжением U простой формулой q = C·U (см учебную статью "Электроёмкость. Конденсаторы" Ссылка1 )

В начальный момент времени конденсатор C1 имел заряд q₀ = C1·U0 , а напряжение м-ду обкладками незаряженного конденсатора C2 было равно 0 . Допустим, полярность заряда плюсовая на правой по схеме обкладке C1. Тогда ток I потечёт в направлении часовой стрелки.

Помним главное правило конденсаторов в импульсных устройствах : "Напряжение м-ду обкладками конденсатора не может измениться мгновенно". Поэтому, в первый момент напряжение U0 конденсатора C1 мигом передаётся ч-з незаряженный конденсатор C2 как будто через перемычку. Это напряжение U0, приложенное к резистору R, вызывает ток I = U0/R .

Со временем, конденсатор C1 разряжается, его напряжение спадает, а конденсатор C2 - наоборот, заряжается полярностью обратной по отношению к полярности C1. Ток I постепенно спадает до нуля по экспоненциальному закону. Процесс перезарядов практически прекратится, когда напряжения на конденсаторах C1 и C2 станут одинаковы по модулю и равны какому-то конечному значению Uk . Запишем эту идею в математическую формулу:
На конденсаторе C1 останется заряд q₁ = C1·Uk
На конденсаторе C2 заряд возрастёт до q₂ = C2·Uk
Тогда Uk = q₁ / C1 = q₂ / C2 (1)

В нашей простой, НЕразветвлённой цепи заряды не утекали из системы. Поэтому, конденсатор C2 получил такой же заряд, на который убавился заряд C1 , а именно :
q₂ = q₀ - q₁ (2)
(некоторые называют это "Закон сохранения заряда" q₀ = q₁ + q₂ )
Подставим это выражение q₂ в формулу (1) и получим уравнение :
q₁ / C1 = (q₀ - q₁) / C2
Чтоб решить это уравнение, группируем неизвестные переменные в левую часть:
q₁ / C1 + q₁ / C2 = q₀ / C2

Получаем искомый конечный заряд q₁ = (q₀/C2) / [1/C1 + 1/C2] = q₀·C1 / (C1 + C2)
Из формулы (2) получим q₂ = q₀ - q₁ = q₀ - q₀·C1 / (C1 + C2) = q₀·C2 / (C1 + C2)

Количество теплоты Q можно вычислять как интеграл

но легче использовать Закон сохранения энергии, чтоб обойтись без высшей математики:
Начальная энергия заряженного конденсатора C1 была W0 = C1·U0²/2 (см статью "Соединения конденсаторов. Энергия электрического поля конденсатора" eduspb.com/node/1763 )
Конечная энергия конденсатора C1 стала W1 = C1·Uk²/2 = q₁²/(2·C1) = q₀²·C1 / [2·(C1+C2)²]
Конечная энергия конденсатора C2 стала W2 = C2·Uk²/2 = q₂²/(2·C2) = q₀²·C2 / [2·(C1+C2)²]
Искомое кол-во теплоты Q = W0 - (W1 + W2) = C1·U0²/2 - {q₀²·C1 / [2·(C1+C2)²] + q₀²·C2 / [2·(C1+C2)²]} =
= C1·U0²/2 - q₀² / [2·(C1+C2)]

Избавляемся от неизвестных переменных, заменим q₀ на заданные в Условии задачи C1·U0 . Получим
Q = (C1·U0²/2) · [1 - C1/(C1+C2)] = U0²·C1·C2 / [2·(C1 + C2)]

Ответ : q₁ = q₀·C1/(C1 + C2) , q₂ = q₀·C2/(C1 + C2) , Q = U0²·C1·C2 / [2·(C1 + C2)]

Сделаем упрощённую проверку (она очень помогает обнаружить грубые ошибки):
1)Представим будто C2 = 0 (обрыв). Тогда q₁ = q₀·C1 / (C1 + 0) = q₀ , q₂ = q₀·0 / (C1 + 0) = 0 ,
Q = U0²·C1·0 / [2·(C1 + 0)] = 0 - конечный заряд q1 конденсатора C1 остался прежним q₀ , C2 не получил заряда, резистор не подогрелся.

2)Представим будто C2 = [$8734$] (перемычка). Тогда q₁ = q₀·C1 / (C1 + [$8734$]) = 0 ,
q₂ = q₀·[$8734$] / (C1 + [$8734$]) = q₀ / (C1/[$8734$] + 1) = q₀ / (0 + 1) = q₀ ,
Q = U0²·C1·[$8734$] / [2·(C1 + [$8734$])] = U0²·C1 / [2·(C1/[$8734$] + 1)] =
= U0²·C1 / [2·(0 + 1)] = C1·U0²/2 - конденсатор C1 передал весь свой заряд в супер-ёмкий C2 , и вся энергия C1 перешла в нагрев резистора.

3)Представим будто C2 = C1 . Тогда q₁ = q₀·C1 / (C1 + C1) = q₀/2 , q₂ = q₀·C1 / (C1 + C1) = q₀/2 ,
Q = U0²·C1·C1 / [2·(C1 + C1)] = C1·U0²/4 - начальный заряд C1 разделился по двум конденсаторам поровну, половина начальной энергии C1 перешла в тепло резистора.
=Все 3 случая логически верны! Проверка успешна!