Здравствуйте, sasha181999_9!
Дано : число 3¹⁹⁹⁸ + 2¹⁹⁹⁸ .
Вычислить остаток деления этого числа на 13.
Решение : Заданное число слишком велико для обычного вычисления с помощью калькулятора или программы Маткад.
Читаем учебную статью "Арифметика остатков" Ссылка1

Делитель в теории чисел называют "модулем", а числа, дающие при делении на модуль 7 одинаковые остатки, называют равно-остаточными или "сравнимыми по модулю 7". Тот факт, что два числа A и B при делении на некоторый модуль М дают одинаковые остатки, т.е. сравнимы по модулю М, записывают так: A[$8801$]В (mod 7) . Тут M=7 .
...
Пункт7 : Свойство степени : Если a[$8801$]b (mod m), то aⁿ[$8801$]bⁿ (mod m) .
Доказательство: a[$8801$]b (mod m) ==> a=k·m+b ==> aⁿ= (k·m+b)ⁿ = m·(…) + bⁿ ==> aⁿ[$8801$]bⁿ (mod m) .
Пример: 7[$8801$]4 (mod 3) ==> 7²[$8801$]4² (mod 3) ==> 49[$8801$]16 (mod 3).

Пример9 : Делится ли число 3¹⁹⁹⁸ + 2¹⁹⁹⁸ на 13 ?
Решение: тк 3³ = 27[$8801$]1 (mod 13), то (3³)^k даёт при делении на 13 остаток 1. Тут k - натуральное число. Число 1998 делится на 3, т.е. выражение 3¹⁹⁹⁸ имеет вид (3³)^k и потому 3¹⁹⁹⁸[$8801$]1 (mod 13) .
Другими словами : Остаток от деления 3¹⁹⁹⁸ на 13 равен 1.

Рассмотрим теперь степени числа 2.
2[$8801$]2 (mod 13),
2²[$8801$]4 (mod 13),
2³[$8801$]8 (mod 13),
2⁴[$8801$]3 (mod 13),
2⁵[$8801$]6 (mod 13),
2⁶[$8801$]12 (mod 13),
2⁷[$8801$]11 (mod 13),
2⁸= 2⁷·2[$8801$]11·2[$8801$]9 (mod 13),
2⁹ = 2⁸·2[$8801$]9·2[$8801$]5 (mod 13),
2¹⁰ = 2⁹·2[$8801$]5·2[$8801$]10 (mod 13),
2¹¹ = 2¹⁰·2[$8801$]10·2[$8801$]7 (mod 13),
2¹² = 2¹¹·2[$8801$]7·2[$8801$]1 (mod 13),
2¹³ = 2¹²·2[$8801$]1·2[$8801$]2 (mod 13).

Период повторения равных остатков 12, следовательно, 2¹⁹⁹⁸ = 2^12·166+6 [$8801$] 2⁶ [$8801$] 12 (mod 13), то остаток равен 12.
Итак, в сумме 3¹⁹⁹⁸ + 2¹⁹⁹⁸ первое слагаемое при делении на 13 дает остаток 1, а второе - остаток 12.
Сумма остатков равна 13, а это означает, что число 3¹⁹⁹⁸ + 2¹⁹⁹⁸ делится на 13.
Ответ : число 3¹⁹⁹⁸ + 2¹⁹⁹⁸ делится на 13 нацело.

Решение похожей задачи "Найдите остаток от деления 3²⁰¹⁷ на 7" znanija.com/task/29300968