Здравствуйте, zhaizhbekowa!
Дано : зависимость радиуса-вектора от времени r^[$8594$](t) = i^[$8594$]·A(t/[$964$])³ + j^[$8594$]·[B(t/[$964$])⁴ - A(t/[$964$])⁶] + k^[$8594$]·sin([$969$]·t)
[$964$] = 1 с, А = 4 м, В = 2 м, [$969$] = [$960$]/2 рад/сек.
Вычислить момент времени t1

Решение: заменяем константы на их числовые значения :
r^[$8594$](t) = 4·t³·i^[$8594$] + (2·t⁴ - 4·t⁶)·j^[$8594$] + sin([$960$]·t/2)·k^[$8594$]

Скорость частицы есть производная пути по времени :
V^[$8594$](t) = dr^[$8594$](t)/dt =12·t²·i^[$8594$] + (8·t³ - 24·t⁵)·j^[$8594$] + ([$960$]/2)·cos([$960$]·t/2)·k^[$8594$]

Вектор V^[$8594$](t) перпендикулярен оси y , если его компонента j вдоль оси y равна нулю, а сумма компонент вдоль остальных осей НЕ равна нулю в этот же момент, то есть :
8·t³ - 24·t⁵ = 0 (1)
12·t² + ([$960$]/2)·cos([$960$]·t/2) [$8800$] 0 (2)

Решаем уравнение (1), получаем :
t³·(1 - 3·t²) = 0
t1 = 0
t2 = [$8730$](1/3) = 0,577 сек.
t3 = -[$8730$](1/3) = -0,577 сек.
Корень t3 = -0,577 с отбрасываем, как не соответствующий будущему времени вопроса из условия задачи.
Корни t1 = 0 и t2 = 0,577 с удовлетворяют уравнению (2) системы.

Ответ : скорость частицы перпендикулярна оси y в начальный момент времени t1 = 0 и в момент t2 = 0,577 сек.
Решения похожих задач : rfpro.ru/question/194831 и Ссылка2