Здравствуйте, dar777!

Дано: Кл/м³; м -- радиус объёмно заряженного шара; -- зависимость плотности заряда шара от расстояния до центра шара.

Определить: -- максимальное значение напряжённости электрического поля шара.

Решение

Примем, что шар находится в вакууме (тогда ).

Определим напряжённость поля внутри шара. Вообразим концентрическую с шаром сферу радиуса Поток напряжённости поля через поверхность сферы составляет

[1, с. 22]; с другой стороны, по теореме Остроградского -- Гаусса, заряд, заключённый в объёме шара, ограниченном сферой радиуса составляет

[1, с. 23], где Кл²/(Н*м²) -- электрическая постоянная [1, с. 15]. При этом



тогда




Поскольку -- положительные числа, то характер зависимости тот же, что для функции

Удобно обозначить где и рассмотреть функцию

отражающую зависимость, аналогичную зависимостям, отражаемым функциями (2), (1). Тогда


Приравняв производную (4) к нулю, получим




-- критическая точка функции [2, с. 186]. Эта точка лежит за пределами сферы радиусом поэтому, как я понимаю, внутри шара функция не имеет локальных экстремумов. Значения функции при соответственно составляют


График функции показан в прикреплённом файле. Максимальное значение функция имеет в точке Тогда напряжённость электрического поля внутри шара имеет наибольшее значение при причём



Согласно [3, с. 168], при переходе через границу области объёмного заряда напряжённость поля в вакууме изменяется непрерывно. Кроме того, в соответствии с теоремой Остроградского -- Гаусса, вне шара напряжённость поля убывает обратно пропорционально Поэтому

Ответ: В/м.

Литература
1. Физика. В 2 ч. Ч. 2 / В. А. Груздев и др. -- Минск: РИВШ, 2009. -- 312 с.
2. Тактаров Н. Г. Справочник по высшей математике для студентов вузов. -- М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2019. -- 880 с.
3. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. -- М.: Высшая школа, 1989. -- 608 с.