Здравствуйте, levushka-ivlev!
Воспользуемся методами аналитической геометрии. Пусть наш куб расположен таким образом, что точка A совпадает с началом координат, а рёбра AB, AD и AA
1 лежат на осях координат Ox, Oy и Oz соответственно. Тогда вершины куба будут иметь следующие координаты: A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A
1(0,0,1), B
1(1,0,1), C
1(1,1,1), D
1(0,1,1). Точка Р - середина отрезка A
1D
1, поэтому её координаты будут средним арифметическим координат точек A
1(0,0,1) и D
1(0,1,1), то есть P(0,1/2,1). Аналогично, для A(0,0,0) и B
1(1,0,1) координаты точки Q составят 2\3 от координат точки B, то есть Q(2/3,0,2/3). Наконец, точка R, лежащая на пересечении диагоналей грани BB
1C
1C, является, очевидно, её центром, и её координаты будут равны R(1, 1/2, 1/2).
Составим уравнение плоскости PQR. Для этого возьмём на плоскости произвольную точку M(x,y,z) и воспользуемся тем, что вектора PM = {x,y-1/2, z-1}, PQ = {2/3,-1/2,-1/3} и PR = {1,0,-1/2} лежат в одной плоскости, следовательно, их смешанное произведение равно нулю:
откуда уравнение плоскости PQR будет иметь вид x+2z-2=0. Так как координата y в уравнении отсутствует, то плоскость PQR будет параллельна оси Oy, а следовательно, и рёбрам куба AD, BC, A
1D
1 и B
1C
1. Так как точка P плоскости лежит на ребре A
1D
1, то и всё это ребро принадлежит плоскости. Аналогично, из принадлежности плоскости точки Q, являющейся центром грани BB
1C
1C куба следует, что пересечением плоскости PQR с этой гранью будет отрезок EF, проходящий через точку Q параллельно BC и B
1C
1, причём точки E и F будут серединами рёбер BB
1 и CC
1 (то есть BE = EB
1 и CF = FC
1).
Очевидно, что сечением куба плоскостью PQR будет прямоугольник A
1EFD
1, в котором AD
1 = EF = 1, A
1E = [$8730$]A
1B
12 + B
1E
2 = [$8730$]1+1/4 = [$8730$]5/2 и аналогично D
1F = [$8730$]5/2. Следовательно, периметр сечения равен 1 + [$8730$]5/2 + 1 + [$8730$]5/2 = 2 + [$8730$]5.
Диагональ куба AC
1 проходит через вершины куба A(0,0,0) и C
1(1,1,1), следовательно, для всех её точек x = y = z. Тогда точка пересечения диагонали с плоскостью PQR (имеющей уравнение x+2z-2=0) будет иметь координаты (2/3,2/3,2/3), то есть плоскость сечения делит диагональ в отношении 2:1, считая от вершины А.