Здравствуйте, Артём!
1
Ваше решение заведомо ложное, так как в выражении для функции правдоподобности в левой части стоит функция от вектора и одного параметра, а в правой - от неперерывной переменной и параметра. При отыскании ее максимума Вы вообще берете производные по двум параметрам!
Предлагаю следующее решение:

Задача максимизации функции правдоподобности сводится к задаче максимизации функции

при условии:

или

Следует рассмотреть два случая:
1)

2)

Здравствуйте, Артём!

Если я правильно понимаю, для решения третьего задания можно воспользоваться формулой для доверительного интервала для разности математических ожиданий в случае нормальной генеральной совокупности и известных дисперсий при независимых выборках. Ведь

где - разность заданных математических ожиданий.



Процитированное взято мной отсюда: knyazev-home.narod.ru/terver/theory.doc. Остаётся пропотенцировать полученное выражение с учётом известных значений дисперсий и чисел наблюдений и разделить на 2, по-видимому.

С уважением.

Здравствуйте, Артём!

И мои пять копеек по третьей задаче.

3.
Есть две выборки, случайные величины в которых распределены нормально:
,
.

Считаем a и b неизвестными и пытаемся узнать о них из выборок -- результатов испытаний.

Идея -- построить доверительный интервал для (a-b), а потом из него получить для .

Пусть , . Тогда и распределены нормально. И
и распределены как N(0,1). И независимы, конечно. Более того, можно показать, что ещё независимы

и
.
Причём имеет распределение с n-1 степенями свободы. -- с m-1, соответственно.
А
.

,
.

Следующая величина имеет распределение Стьюдента и она не зависит от (a-b)!
.

,
где .

Доверительный интервал дла (a-b):
.

И для :
.