Здравствуйте, Посетитель - 383833!

Как известно, скорость - это производная. Дано, что скорость процесса температуры пропорциональна разности между температурой и 15.
То есть dy/dt=-k(y-15)
Даны также краевые условия y(0)=70, y(10)=65.
Решив уравнение, получим y=C e^-kt+15
y(0)=C+15=70
C=55
y(10)=55e^-10k+15=65
55e^-10k=50
k=-1/10ln(50/55)
y(30)=15+55e^3ln(50/55)=15+55*(50/55)³=56,3[$186$]C

Здравствуйте, Посетитель - 383833!

Скорость охлаждения воды - это первая производная функции температуры воды в котле по времени.

Т.е. V = y'(t)

Задано, что скорость охлаждения прямо пропорциональна разности температур в чане и воздушной среды, т.е. V = k(y(t)-T_ср).
Заменяя V на y', имеем следующее дифференциальное уравнение:

y' = k(y-T_ср) = ky-kT_ср = ky-C

Это диф.ур с разделяемыми переменными:

dy/dt = ky - C
dy/(ky-C) = dt
(1/k)ln|ky-C| = t+C₁, откуда y = C₁e^kt+C/k = C₁e^kt+(kT_ср)/k = C₁e^kt+T_ср

Определим C₁ и k из данных о начальной температуре воды и о температуре в заданный момент времени.

C₁:
y(0) = 70[$186$]
y(0) = C₁e^k*0+T_ср = C₁+T_ср
70 = T_ср+15 <=> T_ср = 55

k:
y(10) = 65[$186$]
y(10) = C₁e^k*10+T_ср
C₁e^k*10 = y(10)-T_ср
e^k*10 = (y(10)-T_ср)/C₁

e^k*10 = (65-15)/55 = 50/55 = 10/11

Зная C₁ и выражение для k, можно определить температуру воды через полчаса:
t(30) = C₁e^k*30+T_ср = C₁(e^k*10)³+T_ср
t(30) = 55*(10/11)³+15 = 5000/121+15 ~ 56,3[$186$]

Ответ: через 30 минут температура воды в чане будет равна 56,3[$186$]

Здравствуйте, Посетитель - 383833!
Скорость охлаждения воды (производная температуры по времени) - то же самое, что производная разности температур по времени - пропорциональна этой самой разности температур. Как показывает анализ, при этом условии в равные интервалы независимой переменной зависимая уменьшается в равном отношении. Начальная разность температур составляла 70[$176$] -15[$176$] = 55[$176$], а через 10 минут она стала 55[$176$] - 5[$176$] = 50[$176$], т.е. 50/55 = 0.90909 от начальной. Следовательно, через 30 = 3*10 минут разность температур стала (50/55)[sup]3[/sup] = 0.751315 от начальной, т.е 55[$176$]*0.751315 = 41.3223[$176$], а полная температура воды в чане 41.3223[$176$] + 15[$176$] = 56.3223[$176$]