Здравствуйте, Тимофеев Алексей Валентинович!

Рассмотрим сумму
S_n,r = (1/n)[$8721$]₀^n-1f(k/n+r/n)/f(k/n)
Согласно неравенству Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом
S_n,r [$8805$] ⁿ[$8730$][$8719$]₀^n-1f(k/n+r/n)/f(k/n).
Так как функция f имеет период 1, в числителе под знаком произведения, при любом r, находятся в точности те же сомножители, что и в знаменателе, возможно, в другом порядке. Поэтому S_n,r[$8805$]1.
Устремляя n и r к бесконечности, так, чтобы r/n [$8594$] a, получим в пределе из суммы S_n,r, с учетом непрерывности f, интеграл:
[$8747$]₀¹(f(x+a)/f(x))dx [$8805$] 1.
Следовательно, искомое неравенство справедливо при любом a.