Здравствуйте, Болдырев Тимофей.

Для начала упростим функцию

x^(4*log_x(a))=x^log_x(a⁴)=a⁴
a^(3+5*log_a(x))=a³*x⁵
([$8730$]x)^(10+2*x*log_x(a))=x⁵*a^x
f(x)=(a⁵*a^x+a³*x⁵-a^x*x⁵-a⁸)^-1/2=(a^x*(a⁵-x⁵)-a³*(a⁵-x⁵))^-1/2=((a⁵-x⁵)*(a^x-a³))^-1/2
Видно, что при x=a и при a=1 функция не определена
(a⁵-x⁵)*(a^x-a³) > 0 (подкоренное выражение)
Получим две системы:
|a⁵-x⁵ < 0
|a^x-a³ < 0

|a⁵-x⁵ > 0
|a^x-a³ > 0

при a<1 (a>0 как аргумент логарифма)
из первой системы получим область (-[$8734$];a)[$8745$](-[$8734$];3)=(-[$8734$];a)
из второй системы получим область (a;[$8734$]+)[$8745$](3;[$8734$]+)=(3;[$8734$]+)
в этих интервалах число целых значений x больше 3

при a>1
из первой системы получим область (a;3) - число целых значений x меньше 3
из второй системы получим область (3;a)
при 7<a<8 получим интервал (3;a), содержащий 3 целых значения x (4;5;6)
Ответ: (7;8)

Здравствуйте, Болдырев Тимофей.

из определения функции сразу накладываются ограничения:
1. х > 0, так как стоит под радикалом и
2. x!=1, так как стоит в основании логарифма.
3. выражение с больших скобках должно быть строго положительным, так как стоит под радикалом и в знаменателе.

4. кроме того а всегда положительно, так как стоит под логарифмом. и не равно 1 как по пункту 2.

Далее, преобразовываем выражение в больших скобках
(используя основное логарифмическое тождество a^log_a(x) = x и x^log_x(a) = a.
А также свойства логарифма 5log_a(x) = log_a(x^5), x*log_x(a) = log_x(a^x))
(выражение в скобках)= a^(x+1)*x^(log_x(a^4)) + a^3*a^(log_a(x^5)) - x^5*x^log_x(a^x)-a^8
= a^(x+1)*a^4 + a^3*x^5 - x^5*a^x - a^8
= a^x*a^5 - x^5*a^x + a^3*x^5 - a^8
= a^x*(a^5 - x^5) - a^3*(a^5 - x^5)
= (a^5 - x^5) * (a^x - a^3)

согласно пункту 3 это выражение должно быть строго положительным.
(a^5 - x^5) * (a^x - a^3) > 0 (*)
это случится когда либо обе скобки положительны, либо обе скобки отрицательны.

Предположим, что обе скобки отрицательны, тогда
I.1 при а > 1 имеем x > a и x < 3. Но по пунктам 1. и 2. х>0 и x!=1. Т.е. из целых чисел подходит максимум только одно х=2, если а < 2. Мало!
I.2 при a < 1 имеем x > a и x > 3. Здесь у (*) решений много, так как х при любом значении а не ограничен сверху.

Предположим, что обе скобки положительны:
II.1 при а > 1 имеем x < a и x > 3. Тогда мы будем иметь в области определения три целых x=4,5,6 если a \in (7, 8]
II.2 при a < 1 имеем x < a и x < 3. Тогда x < 1 и (*) вообще не имеет целочисленных решений.

Таким образом все случаи рассмотренны.

Ответ даёт пункт II.1: 7 < a <= 8

Удачи!