Здравствуйте, Кусмарцев Андрей Валерьевич.
Задача 1.
В условии не сказано прямо, что возможен только непосредственный перевод.
Если допустить промежуточные переводы, например с языка 1 на язык 2, с языка 2 на язык 3 и т.д., то достаточно n словарей.
Если же промежуточные переводы запрещены, то каждый язык должен быть связан словарём со всеми остальными, и нужно n*(n - 1) словарей.

Задача 3.
Первую пару можно выбрать C(n, 2) способами (количество сочитаний из n по 2), вторую пару - C(n - 2, 2), третью - C(n - 4, 2).
Остаётся учесть перестановки трёх пар и получаем ответ: C(n, 2)*C(n - 2, 2)*C(n - 4, 2)/3! = 1/48 * n!/(n - 6)!

Здравствуйте, Кусмарцев Андрей Валерьевич.

1. Рассмотрим первую задачу. Представим себе, что не налагается никаких ограничений на количество языков множества, на которые осуществляется перевод (рассматриваем многоязычные словари). Тогда для того, чтобы перевести с одного языка (будем называть такой язык первым) на любой другой язык множества (будем называть такие языки вторыми) необходим один словарь. Например, если множество состоит из русского, белорусского, украинского и польского языков, то для того, чтобы выполнить перевод с русского языка на любой из других языков, достаточно одного словаря. Таким словарем может быть русско-белорусско-украинско-польский словарь. Порядок следования вторых языков значения не имеет. Для того, чтобы перевести с белорусского языка на любой из других языков, тоже достаточно одного словаря. И т. д. Поскольку в качестве первого может выступать любой из n языков множества, достаточно n словарей. Нетрудно убедиться, что это количество словарей является минимально необходимым для организации перевода.

Если речь идет о двуязычных словарях, то для перевода с одного языка на любой другой из множества n языков необходимо два словаря, а для охвата всей совокупности возможных пар языков необходимо найти количество всех упорядоченных пар из множества, состоящего их n элементов. Т. е. общее количество потребных словарей равно A_n² = n!/(n – 2)! = n(n – 1).

Определим, в каком случае количество двуязычных словарей не меньше количества многоязычных словарей:
n ≤ n(n – 1), n ≤ n² – n, n² ≥ 2n, n ≥ 2.
Поскольку по смыслу задачи условие n ≥ 2 выполняется всегда, то утверждение, что минимальное количество словарей равно n, обосновано, о чем говорилось выше.

2. Рассмотрим вторую задачу. Напомним, что один слон может ходить только по белым полям, второй – только по черным. Возможны два варианта:
1) на расположение слонов не накладывается никаких ограничений, т. е. на доске может быть два однопольных слона. Тогда введем обозначения 1 – король, 2 – ферзь, 3 – ладья, 4 – слон, 5 – конь. Если исходить из начальной расстановки фигур на доске, то ее можно закодировать следующим восьмизначным числом 35412453 и искать количество N способов расстановки фигур по известной формуле для числа разбиений множества, состоящего из n = 8 элементов, на подмножества из n₁ = 1 (один король), n₂ = 1 (один ферзь), n₃ = 2 (две ладьи), n₄ = 2 (два слона), n₅ = 2 (два коня) элементов:
N = 8!/(1!1!2!2!2!) = 5040;
2) на расположение слонов накладывается естественное ограничение, состоящее в том, что слоны не могут занимать поля одного цвета. Тогда искомое количество способов оказывается в 7/4 раза меньшим и равным 5040 ∙ 4/7 = 2880.

3. Третья задача сводится к нахождению числа N разбиений n – угольника на различные треугольники, или к нахождению числа сочетаний из n элементов по 3:
N = C_n³ = n!/(3!(n – 3)!).

С уважением.