Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 175794
03.01.2010, 19:18
45.00 руб.
0 3 1
Образование
Здравствуйте, уважаемые эксперты. Решаю контрольную по высшей математике. Возникли сложности с заданием про комплексные числа, т.к. тему эту не изучал. Вот это задание.
Дано комплексное число z = 4 / V (3- i) [здесь имею в виду четыре, делённое на квадратный корень из 3-i (под знаком корня всё выражение 3-i)]. Требуется: 1) записать его в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w3+z=0 (здесь w в третьей степени). Заранее спасибо.
Извиняюсь за обозначения, но при нажатии на знаки степени, корня отображаются не эти символы, а какие-то теги типа и др. Пришлось записать, как смог.

Обсуждение

давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18345
04.01.2010, 14:41
общий
Aleksandrkib:
Здравствуйте!

Вы все-таки уточните, не должно ли в знаменателе дроби вместо числа [$8730$](3 - i) стоять число [$8730$]3 - i. Иначе получаются неудобные для преобразований выражения. Кроме того, поскольку существует два значения корня числа [$8730$](3 - i), приходится рассматривать в два раза больше вариантов.

С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.
давно
Aleksandrkib
Посетитель
317729
109
04.01.2010, 17:48
общий
Гордиенко Андрей Владимирович:
Здравствуйте, Андрей Владимирович. Да, в моём примере всё выражение (3-i) стоит под знаком квадратного корня. Как я понял, в этом случае получаются слишком громоздкие преобразования и вычисления. Вот я сам думаю, может, в примере опечатка? (я уже находил одну в примере на нахождение предела). Если уж преобразования слишком громоздкие, пусть тогда в знаменателе будет выражение V 3 - i (квадратный корень из трёх минус i). В крайнем случае, сошлюсь на свою невнимательность.
давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18345
05.01.2010, 09:41
общий
это ответ
Здравствуйте, Aleksandrkib.

Будем полагать, что в задании опечатка и вместо числа √(3 – i) в знаменателе дроби стоит число √3 – i.

Для числителя дроби имеем z1 = 4 = 4(cos 0 + isin 0). Запишем в тригонометрической форме число z2 = √3 – i:
|z2| = √((√3)2 + (-1)2) = √4 = 2,
arg z2 = arctg (-1)/√3 = -π/6,
z2 = √3 – i = 2(cos (-π/6) + isin (-π/6)).
Следовательно,
z = z1/z2 = (2/4)(cos ((-π/6) – 0) + isin ((-π/6) – 0) = (1/2)(cos (-π/6) + isin (-π/6)) – тригонометрическая форма записи числа z.

Запишем теперь число z в алгебраической форме:
z = (1/2)(cos (-π/6) + isin (-π/6)) = (1/2)(-√3/2 + i(-1/2)) = √3/4 – (1/4)i.

Решим уравнение w3 + z = 0. Перепишем это уравнение в виде w = 3√z. По формуле для нахождения корня
степени n из комплексного числа находим
w = 3√((1/2)(cos (-π/6) + isin (-π/6))) = (1/3√2)(cos (((-π/6) + 2πk)/3) + isin (((-π/6) + 2πk)/3)),
где k = 0, 1, 2.

Полагая k = 0, 1, 2, находим
w1 = (1/3√2)(cos (-π/18) + isin (-π/18)) ≈ 0,7816 – 0,1378 • i,
w2 = (1/3√2)(cos (11π/18) + isin (11π/18)) ≈ -0,2715 + 0,7458 • i,
w3 = (1/3√2)(cos (23π/18) + isin (23π/18)) ≈ -0,5102 – 0,6080 • i.

Ответ: 1) z = √3/4 – (1/4)i = (1/2)(cos (-π/6) + isin (-π/6)); 2) 0,7816 – 0,1378 • i, -0,2715 + 0,7458 • i, -0,5102 – 0,6080 • i.

С уважением.
5
Большое спасибо за подробный ответ!!!
Об авторе:
Facta loquuntur.
Форма ответа