Лидеры рейтинга

ID: 226425

Konstantin Shvetski

Модератор

1003

Россия, Северодвинск


ID: 165461

Лангваген Сергей Евгеньевич

Советник

687

Россия, Московская обл.


ID: 401284

Михаил Александров

Академик

419

Россия, Санкт-Петербург


ID: 398750

Елена Васильевна

Специалист

401

Беларусь, Гомель


ID: 400669

epimkin

Профессионал

186


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

185

Беларусь, Гомель


ID: 401888

puporev

Профессор

163

Россия, Пермский край


8.3.1

01.03.2021

JS: 2.4.1
CSS: 4.4.0
jQuery: 3.5.1


 

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)


Konstantin Shvetski
Статус: Модератор
Рейтинг: 1003
Лангваген Сергей Евгеньевич
Статус: Советник
Рейтинг: 687
Коцюрбенко Алексей Владимирович
Статус: Старший модератор
Рейтинг: 467
 

Перейти к консультации №:
 

Консультация онлайн # 173373
Раздел: • Математика
Автор вопроса: Ирина П.
Дата: 18.10.2009, 01:16
Поступило ответов: 3

Объясните пожалуста, как это решается

∫(x+1)/(x^2+2x-1)dx

Состояние: Консультация закрыта

Ответ # 255506 от Айболит

Здравствуйте, Ирина П..
Дифференцириуем мысленно выражение в знаменателе и подделываем часть числителя под дифференциал знаменателя .
d((x^2)+2x-1)=(2x+2)dx ...
INT[((x+1)/(x^2+2x-1))dx]=(1/2)*INT[((2x+2)*dx)/((x^2)+2x-1)]=(1/2)*Ln|(x^2)+2x-1|+C , C=const .


Консультировал: Айболит
Дата отправки: 18.10.2009, 01:29

5
Спасибо за быстрый ответ!!!
-----
Дата оценки: 18.10.2009, 16:43

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Ответ # 255508 от Vassea

Здравствуйте, Ирина П..
Можно решить методом неопределенных коэффициентов
(x+1)/(x^2+2x-1)
x^2+2x-1=0
Находим корни
D=22-4*(-1)=8
x1=(-2+√8)/2=-1+√2
x1=(-2+√8)/2=-1-√2
тогда x^2+2x-1=(x+1-√2)*(x+1+√2)
(x+1)/(x^2+2x-1)=(x+1)/[(x+1-√2)*(x+1+√2)] = A/(x+1-√2) + B/(x+1+√2)
Теперь приводим к общему знаменателю
A/(x+1-√2) + B/(x+1+√2) = {A*((x+1+√2))+B*(x+1-√2)}/[(x+1-√2)*(x+1+√2)] ={x*(A+B)+A+A√2+B-B√2}/[(x+1-√2)*(x+1+√2)]
=>(x+1)/(x^2+2x-1) = {x*(A+B)+A+A√2+B-B√2}/[(x+1-√2)*(x+1+√2)]
=>
1=A+B (коэффициенты при х)
1=A+A√2+B-B√2 (свободные коэффициенты)

Решаем систему
B=1-A
1=A+A√2+(1-A)-(1-A)√2
A+A√2+1-A-√2+A√2=1
2A√2=√2
A=1/2
B=1/2
Проверяем
=
x*(A+B)+A+A√2+B-B√2 = x*(1/2+1/2)+1/2+1/2*√2+1/2-1/2*√2=x+1
Таким образом
∫(x+1)/(x^2+2x-1)dx = ∫[0.5/(x+1-√2) + 0.5/(x+1+√2)]dx = ∫0.5/(x+1-√2)dx + ∫0.5/(x+1+√2)]dx=0.5*[ln|x+1-√2| + ln|x+1+√2|] +C=
=0.5*ln|x^2+2x-1|+c


Консультировал: Vassea
Дата отправки: 18.10.2009, 01:51

5
Спасибо за поясненний ответ!
-----
Дата оценки: 18.10.2009, 16:42

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Ответ # 255509 от Яна

Здравствуйте, Ирина П..
∫(x+1)/(x^2+2x-1)dx =∫(x+1)/((x^2+2x+1)-1-1)dx =∫(x+1)/((x+1)^2-2)dx=[t=(x+1)^2; dt=2(x+1)dx]=0.5*∫1/(t-2)dt=0.5ln|t-2|+C=0.5ln|(x+1)^2-2|+C= 0.5ln|x^2+2x-1|+C


Консультировал: Яна
Дата отправки: 18.10.2009, 05:13

5
Спасибо!
-----
Дата оценки: 18.10.2009, 16:40

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Мини-форум консультации № 173373
неизвестный

1

= общий = |  18.10.2009, 01:33

Айболит:
А методом замены тут нельзя решить? Дело в том, что тема у нас сейчас как раз "решения методами замены"

Айболит

2

= общий = |  18.10.2009, 01:34

Обычно в таких случаях числитель несколько отличен от дифференциала знаменателя , чтобы исходный интеграл приходилось делить на 2 части . одна часть решается так как я показал , а из другой получается , например , артктангенс ... В этот раз повезло , обошлось всё одним интегралом .

Айболит

3

= общий = |  18.10.2009, 01:53

Я привёл числитель под знак дифференциала , это 5 лет назад был отдельный способ ...
Вы можете сделать так : t=(x^2)+2x-1 => dt=(2x+2)dx .
∫(x+1)/(x^2+2x-1)dx = (1/2)*∫dt/t = (1/2)*Ln|t|+C = (1/2)*Ln|(x^2)+2x-1|+C , C=const .
Вроде бы тот самый метод замены ...
smile

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.