Консультации Портала - Консультация #173373

Задать вопрос Консультации Пользователи Форум

Задать вопрос экспертам

Консультация № 173373

18.10.2009, 01:16

25.00 руб.

0 6 3

Образование

Объясните пожалуста, как это решается

∫(x+1)/(x^2+2x-1)dx

Обсуждение

Неизвестный

18.10.2009, 01:29

общий

это ответ

Здравствуйте, Ирина П..
Дифференцириуем мысленно выражение в знаменателе и подделываем часть числителя под дифференциал знаменателя .
d((x^2)+2x-1)=(2x+2)dx ...
INT[((x+1)/(x^2+2x-1))dx]=(1/2)*INT[((2x+2)*dx)/((x^2)+2x-1)]=(1/2)*Ln|(x^2)+2x-1|+C , C=const .

Спасибо за быстрый ответ!!!

Неизвестный

18.10.2009, 01:33

общий

Айболит:
А методом замены тут нельзя решить? Дело в том, что тема у нас сейчас как раз "решения методами замены"

Неизвестный

18.10.2009, 01:34

общий

Обычно в таких случаях числитель несколько отличен от дифференциала знаменателя , чтобы исходный интеграл приходилось делить на 2 части . одна часть решается так как я показал , а из другой получается , например , артктангенс ... В этот раз повезло , обошлось всё одним интегралом .

Неизвестный

18.10.2009, 01:51

общий

это ответ

Здравствуйте, Ирина П..
Можно решить методом неопределенных коэффициентов
(x+1)/(x^2+2x-1)
x^2+2x-1=0
Находим корни
D=2²-4*(-1)=8
x₁=(-2+√8)/2=-1+√2
x₁=(-2+√8)/2=-1-√2
тогда x^2+2x-1=(x+1-√2)*(x+1+√2)
(x+1)/(x^2+2x-1)=(x+1)/[(x+1-√2)*(x+1+√2)] = A/(x+1-√2) + B/(x+1+√2)
Теперь приводим к общему знаменателю
A/(x+1-√2) + B/(x+1+√2) = {A*((x+1+√2))+B*(x+1-√2)}/[(x+1-√2)*(x+1+√2)] ={x*(A+B)+A+A√2+B-B√2}/[(x+1-√2)*(x+1+√2)]
=>(x+1)/(x^2+2x-1) = {x*(A+B)+A+A√2+B-B√2}/[(x+1-√2)*(x+1+√2)]
=>
1=A+B (коэффициенты при х)
1=A+A√2+B-B√2 (свободные коэффициенты)

Решаем систему
B=1-A
1=A+A√2+(1-A)-(1-A)√2
A+A√2+1-A-√2+A√2=1
2A√2=√2
A=1/2
B=1/2
Проверяем
=
x*(A+B)+A+A√2+B-B√2 = x*(1/2+1/2)+1/2+1/2*√2+1/2-1/2*√2=x+1
Таким образом
∫(x+1)/(x^2+2x-1)dx = ∫[0.5/(x+1-√2) + 0.5/(x+1+√2)]dx = ∫0.5/(x+1-√2)dx + ∫0.5/(x+1+√2)]dx=0.5*[ln|x+1-√2| + ln|x+1+√2|] +C=
=0.5*ln|x^2+2x-1|+c

Спасибо за поясненний ответ!

Неизвестный

18.10.2009, 01:53

общий

Я привёл числитель под знак дифференциала , это 5 лет назад был отдельный способ ...
Вы можете сделать так : t=(x^2)+2x-1 => dt=(2x+2)dx .
∫(x+1)/(x^2+2x-1)dx = (1/2)*∫dt/t = (1/2)*Ln|t|+C = (1/2)*Ln|(x^2)+2x-1|+C , C=const .
Вроде бы тот самый метод замены ...

Неизвестный

18.10.2009, 05:13

общий

это ответ

Здравствуйте, Ирина П..
∫(x+1)/(x^2+2x-1)dx =∫(x+1)/((x^2+2x+1)-1-1)dx =∫(x+1)/((x+1)^2-2)dx=[t=(x+1)^2; dt=2(x+1)dx]=0.5*∫1/(t-2)dt=0.5ln|t-2|+C=0.5ln|(x+1)^2-2|+C= 0.5ln|x^2+2x-1|+C

Спасибо!

Форма ответа

Отправка постов/ответов доступна только зарегистрированным и подтвержденным пользователям.

Если Вы уже зарегистрированы на Портале - войдите в систему, если Вы еще не регистрировались - пройдите простую процедуру регистрации.