Консультация онлайн # 161314

Раздел: Математика
Автор вопроса: In laf
Дата: 24.02.2009, 19:58 Консультация неактивна
Поступило ответов: 1
Здравствуйте эксперты.
Помогите пожалуйста с решением неопределенного интеграла.

i = (x*e^arctgx)dx/( 1 + x^2)^3/2

что-то никакх идей. попробывал через замену t=e^arctgx , dt = (e^arctgx)/(1+x^2). далеко не ушел.
или на мыслю хотяб натолкните. заранее спасибо.

Ответ # 1, Рамиль Ниязов Асхатович (Посетитель)

Здравствуйте, In laf!
При решении этого неопределенного интеграла следует использовать то, что производная от arctgx равна 1/(1+x2).
∫(x*e^arctgx)dx/( 1 + x^2)^3/2=∫(x*e^arctgx)d(arctgx)/( 1 + x^2)^1/2. Далее дважды воспользуемся формулой интегрирования по частям, и тем, что e^(arctgx)d(arctgx)=d(e^(arctgx)), тогда искомый интеграл i = (x*e^arctgx)/( 1 + x^2)^1/2-∫(e^arctgx)dx/( 1 + x^2)^3/2=(x*e^arctgx)/( 1 + x^2)^1/2-e^arctgx/( 1 + x^2)^1/2-∫(x*e^arctgx)dx/( 1 + x^2)^3/2. В последнем равенстве правое слагаемое является искомым интегралом, откуда i=1/2*(x-1)*e^(arctgx)/( 1 + x^2)^1/2 и, конечно, следует не забыть добавить к ответу константу.

Рамиль Ниязов Асхатович

Посетитель
24.02.2009, 20:56
Нет оценки ответа

Мини-форум консультации # 161314

неизвестный

177679

= общий =    24.02.2009, 21:12
спасибо большое, а есть другой путь решения?
в анти-демидовиче, что-то похожее видел. препод ругнулся, что мона как-то по другому.
а, еще, при интегрировании по частям, вы что брали за u и v ?
Рамиль Ниязов Асхатович

177682

= общий =    24.02.2009, 21:23
Если формула udv=uv - vdu, то v - это экспонента, а u - все остальное:)
А на счет решения - по-моему, это самый простой способ:), если найду еще один, то напишу.
неизвестный

178408

= общий =    01.03.2009, 22:48
извините конечно, но вы не могли бы поподробней расписать решение ?
а именно интегрирование по частям, как и что там. или хотябы словестно.
заранее спасибо.
Рамиль Ниязов Асхатович

178413

= общий =    01.03.2009, 23:50
Формула интегрирования по частям udv=uv - vdu, в нашей задаче, при первом использовании dv=d(e^(arctgx)) (надеюсь вам понятно откуда это равенство), а u=x/( 1 + x^2)^1/2, тогда du=dx/( 1 + x^2)^3/2. Осталось теперь только подставить в формулу. Аналогичным образом интегрируем по частям второй раз.
неизвестный

178417

= общий =    02.03.2009, 00:15
вроде понятно. интеграл от d(e^(arctgx)) = e^arctgx ?

а я пытался еще что-то через замены изображать) типо e^arctgx/(1+x^2) = t, итд)
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.