Консультация онлайн # 161288

Раздел: Математика
Автор вопроса: Вуков Андрей Семёнович
Дата: 24.02.2009, 15:23 Консультация неактивна
Поступило ответов: 1
Уважаемые эксперты помогите пожалуста с задачками!
Надеюсь на вашу помощь

1)Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом A и прилежащим к нему острым углом L. Все боковые рёбра пирамиды образуют с площадью основания угол Y. Определить обьём конуса, описанного около данной пирамиды.

2)В треугольной пирамиде все двугранные углы при основании равны Y. Расстояние от основания высоты пирамиды до вершины одного из углов основания равно D, а два других угла основания равны L и B. Определить боковую поверхность конуса, вписанного в данную пирамиду.

Ответ # 1, Izmtimur (Посетитель)

Здравствуйте, Вуков Андрей Семёнович!
Заранее прошу прощения за отсутствие рисунков (по техническим причинам). В качестве иллюстрацию можно порекомендовать рисунки к подобным/аналогичным задачам из любого (школьного) учебника по стереометрии (10-11 класс, если не ошибаюсь).
1) В данном случае радиус описанной около основания пирамиды окружности равен радиусу основания описанного конуса; высота конуса равна высоте пирамиды.
Радиус вписанной в основание пирамиды окружности R равен половине гипотенузы, которая в свою очередь равна A/cos(L). Итак,
R=A/(2*cos(L))
Высота конуса равна H=R*tg(Y). Для того, чтобы получить это соотношение достаточно рассмотреть треугольник, вершинами которого являются:
-вершина пирамиды,
-основание высоты пирамиды,
-один из углов треугольника - основания пирамиды.
Этот треугольник - прямоугольный, катетами в нем являются высота пирамиды H и радиус R (т.к. основание высоты пирамиды совпадает с центром описанной около основания окружности), а гипотенузой - образующая конуса.
Объем конуса равен
V=(1/3)*pi*(R^2)*H=(1/3)*pi*(R^3)*tg(Y)=(1/3)*pi*(A^3)*tg(Y)/((2*cos(L))^3)=(1/24)*pi*(A^3)*tg(Y)/(cos(L)^3)
Примечание.
В куб возводится не аргумент косинуса, а сам косинус.
2) В треугольной пирамиде, у которой все двугранные углы при основании равны, высота "падает" в точку пересечения биссектрис (треугольника-основания), или
(что то же самое) в центр вписанной (в основание) окружности. Отсюда
D*sin(alpha/2)=r, где
alpha - угол, расстояние от которого до основания высоты пирамиды равно D
r - радиус вписанной в основание пирамиды окружности
Половина угла берется потому, что биссектриса делит любой угол точно пополам.
Но alpha=pi-L-B, т.к. сумма углов треугольника равна pi. В градусной мере, соответственно, alpha=180-L-B.
Итак, получаем, что
r=D*sin(alpha/2)=D*sin((pi-L-B)/2)=D*sin(pi/2-(L+B)/2)=D*cos((L+B)/2)
То же самое в градусной мере
r=D*sin(alpha/2)=D*sin((180-L-B)/2)=D*sin(180/2-(L+B)/2)=D*sin(90-(L+B)/2)=D*cos((L+B)/2)
Образующая конуса равна
a=r/cos(Y)
Чтобы получить данное соотношение достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник, одним из катетов которого является высота пирамиды, а другим - радиус вписанной в основание окружности, проведенный перпендикулярно некоторой стороне основания; гипотенузой в таком треугольнике является образующая вписанногов пирамиду конуса. При этом необходимо использовать т.н. теорему о трех перпендикулярах. Получаем, что двугранный угол Y равен углу в таком прямоугольном треугольнике, откуда уже со всей очевидностью следует представленное выше соотношение.
Площадь боковой поверхности конуса равна
S=pi*a*r=pi*(r^2)/cos(Y)=pi*(D^2)*(cos((L+B)/2)^2)/cos(Y)
Примечание 1.
В квадрат возводится, разумеется, не аргумент косинуса, а сам косинус.
Примечание 2.
Подразумевается, что высота вписанного в пирамиду конуса равна высоте пирамиды, радиус основания - радиусу вписанной в основание окружности. Данный факт
достаточно очевиден и легко показывается (для треугольных пирамид такого типа, у которых все двугранные углы при основании одинаковы).

Izmtimur

Посетитель
24.02.2009, 21:20
Нет оценки ответа

Мини-форум консультации # 161288


Нет сообщений в мини-форуме
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.