Консультация онлайн # 161100

Раздел: Математика
Автор вопроса: Andrekk
Дата: 22.02.2009, 00:03 Консультация неактивна
Поступило ответов: 1
Уважаемые эксперты! Возникло затруднение с решением ЕГЭ по математике. Вот текст задания:
"найти максимальное (или минимальное, не помню точно, извиняюсь) значение k, при котором система, предложенная ниже имеет хотя бы одно решение:
kx+y+z=0
(x-4)^2+(y-1)^2+(z-3)^2<=4 (то есть система из уравнения и неравенства)".
Я пытался решить пространственно, но особо ни до чего не додумался. Приветствую любые варианты решения или даже "намеки" на предполагаемые способы решения этой и других однотипных ей задач.
Если не будет затруднительно, я прошу Вас, уважаемые эксперты, порекомендовать ресурсы в Инете, которые содержат полезную информацию по части решения таких задач (это задание С4). Заранее спасибо за любые усилия и любые соображения по данному заданию.

Ответ # 1, Дмитрий DA (Посетитель)

Здравствуйте, Andrekk!
Если я правильно понял, нужно найти касание плоскости и сферы.
1. Это можно решить алгебраически.
Выражаем z из первого и подставляем во второе. Получившееся уравнение на x и y должно иметь один корень. Смотрим на него как на квадратное относительно икса, записываем дискриминант и приравниваем нулю. Получается уравнение на игрек, тоже квадратное. Оно тоже должно иметь один корень. Приравниваем дискриминант нулю, получаем уравнение на k, которое и решаем.

2. Геометрически, конечно, интереснее.
Плоскость kx+y+z=0 (далее плоскость А) при любом k проходит через прямую (x=0,y+z=0) (прямая В). Изменение k только поворачивает плоскость А вокруг прямой В. Надо повернуть так, чтобы плоскость А касалась сферы
(x-4)^2+(y-1)^2+(z-3)^2=4
Я бы спроецировал всё на на перпендикулярную к В плоскость y=z и решал там задачу о касании прямой о окружности.
Проекцию центра сферы найти нетрудно: сдвигаем точку (4;1;3) так, чтобы оставалось постоянной сумма y+z до тех пор, пока не станет y=z. Ясно, что получится (4;2;2).

Дмитрий DA

Посетитель
22.02.2009, 22:35
Нет оценки ответа

Мини-форум консультации # 161100

Andrekk

177513

= общий =    23.02.2009, 19:10
Уважаемый Дмитрий DA! Вы не могли бы поянить мне пару моментов вашего ответа:
1) Вы решали заданную задачу алгебраически или же написали под первым пунктом "отсебятину" - предположение на уровне интуиции? Дело в том, что, идя по вашему пути, я получил уравнение четвертой степени относительно k, которое мне представляется не очень решаемым для ученика 11 класса на ЕГЭ:
21k4 +16k3+29k2-32k-10=0 (возможно, я где-то допустил ошибку, поправьте меня пожалуйста)
2) Плоскость kx+y+z=0 (далее плоскость А) при любом k проходит через прямую (x=0,y+z=0) (прямая В).
Изменение k только поворачивает плоскость А вокруг прямой В.
Я бы спроецировал всё на на перпендикулярную к В плоскость y=z и решал там задачу о касании прямой о окружности.
Проекцию центра сферы найти нетрудно: сдвигаем точку (4;1;3) так, чтобы оставалось постоянной сумма y+z до тех пор, пока не станет y=z. Ясно, что получится (4;2;2)
- Из всех этих утверждений я поспорил бы с каждым, т.к. практически все эти утверждения для меня выглядят бездоказательными. Пожалуйста, если Вас не затруднит, я попрошу Вас, Уважаемый Дмитрий DA, обосновать каждое из них (ссылки на материалы в сети приветствуются).
3) Мне кажется что прямая "х=0, у=z" вовсе не является прямой, но плоскостью, так ли это?
Заранее благодарен за любого рода разъянение. В любом случае, спасибо за проявленный интерес к заданной мною задаче.
Дмитрий DA

177516

= общий =    23.02.2009, 19:51
Уважаемый Andrekk
1) Я получил уравнение 3k^2+8k-2=0 и на этом остановился.

2) Если Вы не проходили это всё в школе, то такое решение, наверное, отпадает.
Это всё, однако, несложно.
x=0 - это плоскость
y+z=0 - тоже плоскость
их пересечение - прямая, которую я обозначил (x=0,y+z=0), это надо понимать в том смысле, что берём точки, для которых оба условия выполнены одновременно. Каждая из этих точек лежит в плоскости А (просто подставьте эти условия в уравнение), поэтому "Изменение k только поворачивает плоскость А вокруг прямой В".
Как устроено проектирование вдоль прямой В? Это перенос вдоль прямой, параллельной В и проходящей через начальную точку. Любую такую прямую можно представить как пересечение плоскости, параллельной плоскости x=0, с плоскостью, параллельной y+z=0.
Уравнение первой плоскости x=const, а второй y+z=const. Отсюда и получается правило: "сдвигаем точку (4;1;3) так, чтобы при постоянном x оставалась постоянной сумма y+z до тех пор, пока не станет y=z".
Выделенный важный фрагмент я не написал, и это могло ввести в заблуждение.
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.