Здравствуйте, Филиппов Алексей Павлович!
1) Общее представление многочлена (полинома) степени n таково:
Pn(x) - это сумма членов вида Ai*(x^i), где i меняется от 0 до n, Ai - некоторые коэффициенты (константы)
Члены с четными степенями i - четные функции (в частности член A0*(x^0)=A0 - постоянная, четная функция), с нечетными степенями - нечетные функции.
Так как сумма четных функций есть четная функция, а сумма нечетных функций - нечетная функция, то
Qn(x) - сумма четных членов многочлена Pn(x), т.е. сумма членов, для которых i представимо в виде 2*j (j - некоторое натуральное число или 0), будет четной функцией, а
Rn(x) - сумма нечетных членов многочлена Pn(x), т.е. сумма членов, для которых i представимо в виде 2*j+1 (j - некоторое натуральное число или 0), будет нечетной функцией
Однако Pn(x)=Qn(x)+Rn(x) - ч.т.д.

2) Если рассматривать данную задачу в контексте предыдущей, то можно обратиться к разложению функции в ряд Маклорена:
F(x) - сумма членов вида Fi(0)*(x^i)/i!, где i меняется от 0 до бесконечности, Ai - некоторые коэффициенты (константы), Fi(0) - значение производной i-го порядка от функции F(x) в точке 0, i! - факториал i
Таким образом, если функция разложима в ряд Маклорена, то она (по сути) представима в виде многочлена (полинома) с бесконечным количеством членов и константным коэффициентом при i-ом члене вида Fi(0)/i!. Однако и такой ряд-полином можно представить (по аналогии с предыдущей задачей) в виде суммы двух степенных рядов, в одном из которых все члены будут четными, а в другом - нечетными функциями, то есть в искомом виде F(x)=G(x)+H(x), где G(x) - четная, а H(x) - нечетная функция.
Данное доказательство неприменимо для функций, не имеющих разложение в ряд Маклорена.
Конечно, хотелось бы иметь "элементарное" доказательство данного факта.
Представляю Вашему вниманию такое:
Рассмотрим функции
G(x)=(F(x)+F(-x))/2
H(x)=(F(x)-F(-x))/2
Их сумма равна F(x):
G(x)+H(x)=(F(x)+F(-x))/2 + (F(x)-F(-x))/2=F(x)/2+F(-x)/2+F(x)/2-F(-x)/2=F(x)/2+F(x)/2=F(x)
С другой стороны, легко убедиться, что G(x) - четная функция, а H(x) - нечетная:
G(-x)=(F(-x)+F(x))/2=(F(x)+F(-x))/2=G(x)
H(-x)=(F(-x)-F(x))/2=-(F(x)-F(-x))/2=-H(x)
Таким образом, функции G(x) и H(x) своим существованием подтверждают указанное в условии утверждение.
Что касается вопроса, поставленного в п. 2, то тут ничего определенного сказать не могу. Интутитивно кажется, что разложение будет единственным и иметь вид, показанный выше. Но строгого доказательства этого факта мне получить не удалось.
P.S. Прошу прощения за "не совсем математические" обозначения производных i-го порядка.